Hướng dẫn giải Bài §11. Hình thoi, chương I – Tứ giác, sách giáo khoa toán 8 tập một. Nội dung bài giải bài 73 74 75 76 77 78 trang 105 106 sgk toán 8 tập 1 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài tập phần hình học có trong SGK toán để giúp các em học sinh học tốt môn toán lớp 8.

Bạn đang xem: Bài 73 trang 106 sgk toán 8 tập 1

Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

*

Từ định nghĩa này, ta suy ra:

Hình thoi là cũng là một hình bình hành.

2. Tính chất

Định lí:

Trong hình thoi:

– Hai đường chéo vuông góc với nhau.

– Hai đường chéo là đường phân giác của các góc của hình thoi.

*

ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AB = BC = CD = DA\)

\(\begin{array}{l}AC \bot BD,OA = OC,OC = OB\\\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}.\end{array}\)

3. Dấu hiệu nhận biết

Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi.Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi.

Dưới đây là phần Hướng dẫn trả lời các câu hỏi có trong bài học cho các bạn tham khảo. Các bạn hãy đọc kỹ câu hỏi trước khi trả lời nhé!

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 104 sgk Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) trên hình \(100\) cũng là một hình bình hành.

*

Trả lời:

\(ABCD\) có các cặp cạnh đối bằng nhau \(⇒ ABCD\) là hình bình hành.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 104 sgk Toán 8 tập 1

Cho hình thoi \(ABCD\), hai đường chéo cắt nhau tại \(O\) (h.\(101\)).

a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất gì ?

b) Hãy phát hiện thêm các tính chất khác của hai đường chéo \(AC\) và \(BD.\)

*

Trả lời:

a) Theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của hình thoi có tính chất cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) Xét \(ΔAOB\) và \(ΔCOB\)

+) \(AB = CB\)

+) \(BO\) chung

+) \(OA = OC\) (\(O\) là trung điểm \(AC\) )

\(⇒ ΔAOB = ΔCOB\;\; (c.c.c)\)

\(⇒ \widehat {ABO} = \widehat {CBO};\,\,\widehat {AOB} = \widehat {COB}\) (các cặp góc tương ứng)

\(\widehat {ABO} = \widehat {CBO} ⇒ BO\) là phân giác góc \(ABC\).

\(\eqalign{& \widehat {AOB} + \widehat {COB} = {180^o} \cr& \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {COB} = {180^o}:2 = {90^o} \cr} \)

\( \Rightarrow AC \bot BD\)

Chứng minh tương tự, ta kết luận được:

\(AC, BD\) là các đường phân giác của các góc của hình thoi và \(AC ⊥ BD\) tại \(O\).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 105 sgk Toán 8 tập 1

Hãy chứng minh dấu hiệu nhận biết \(3\).

Trả lời:

Dấu hiệu nhận biết \(3\): Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

*

\(ABCD\) là hình bình hành

\(⇒ O\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là trung điểm của \(BD\).

Xét hai tam giác vuông \(AOB\) và \(AOD\) có:

+) \(OA\) chung

+) \(OB = OD\) (\(O\) là trung điểm \(BD\))

\(⇒ ΔAOB = ΔAOD\) (hai cạnh góc vuông)

\(⇒ AB = AD\) (hai cạnh tương ứng)

Hình bình hành \(ABCD ⇒ AB = CD\) và \(AD = BC\).

Do đó \(AB = BC = CD = DA ⇒ ABCD\) là hình thoi.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài 73 74 75 76 77 78 trang 105 106 sgk toán 8 tập 1. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

hijadobravoda.com giới thiệu với các bạn đầy đủ phương pháp giải bài tập phần hình học 8 kèm bài giải chi tiết bài 73 74 75 76 77 78 trang 105 106 sgk toán 8 tập 1 của bài §11. Hình thoi trong chương I – Tứ giác cho các bạn tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài 73 74 75 76 77 78 trang 105 106 sgk toán 8 tập 1

1. Giải bài 73 trang 105 sgk Toán 8 tập 1

Tìm các hình thoi trên hình 102.

*

Bài giải:

– Hình 102a)Theo định nghĩa tứ giác $ABCD$ là hình thoi.

– Hình 102b)Tứ giác $EFGH$ có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành. Mặt khác lại có $EG$ là phân giác góc $E ⇒ EFGH$ là hình bình hành.

– Hình 102c)Ta có tứ giác $KINM$ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mặt khác $IM \perp KN$ nên $KINM$ là hình thoi.

– Hình 102d): $PQRS$ không phải là hình thoi.

– Hình 102e)Nối $A$ với $B$, ta có: $AD = BD = BC$ (vì cùng bằng AB = R) ⇒ $ABCD$ là hình thoi.

2. Giải bài 74 trang 106 sgk Toán 8 tập 1

Hai đường chéo của hình thoi bằng 8cm và 10cm. Cạnh của hình thoi bằng giá trị nào sau đây:

(A) 6cm ; (B) $\sqrt{41}$cm ; C) $\sqrt{164}$cm ; (D) 9cm?

Bài giải:

Ta biết hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên:

$AC \perp BD$

$OB = OD = 4cm$

$OA = OC = 5cm$

$AB = BC = CD = DA$

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông $BOC$, ta có:

$BC^2 = OB^2 + OC^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$

⇒ $BC = \sqrt{41}$.

Vậy ta chọn phương án (B)

3. Giải bài 75 trang 106 sgk Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Bài giải:

*

Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) có \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\)

Bốn tam giác vuông \(EAH, EBF, GDH, GCF\) có:

\(AE = BE = DG = CG\) ( = \(\frac{1}{2}AB\) = \(\frac{1}{2}CD\) )

\(HA = FB = DH = CF\) ( = \(\frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC\) )

Suy ra \(∆EAH = ∆EBF = ∆GDH = ∆GCF (c.g.c)\)

Suy ra \(EH = EF = GH = GF\)

Vậy \(EFGH\) là hình thoi (theo định nghĩa).

4. Giải bài 76 trang 106 sgk Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Bài giải:

*
Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ (gt)

Nên $MN // AC$ và $MN = \frac{AC}{2}$ (1)

Tương tự, ta có $PQ$ là đường trung bình của tam giác $DAC$ nên:

$PQ // AC$ và $PQ = \frac{AC}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN // PQ$ và $MN = PQ$

Do đó tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành. (*)

Chứng minh tương tự, ta được $MQ // BD (3)$

Mà $AC \perp BD (4) $ (vì ABCD là hình thoi)

Từ (1), (3), (4) suy ra $MN \perp MQ (**)$

Kết hợp (*) và (**) suy ra tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật (đpcm)

5. Giải bài 77 trang 106 sgk Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

a) Giao điểm hai đường chéo của hình thoi là tâm đối xứng của hình thoi.

b) Hai đường chéo của hình thoi là hai trục đối xứng của hình thoi.

Bài giải:

a) Hình bình hành nhận giao điểm hai đường chéo là tâm đối xứng. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên giao điểm hai đường chéo hình thoi là tâm đối xứng của hình.

b) $BD$ là đường trung trực của $AC$ (do $BA = BC, DA = DC$) nên $A$ đối xứng với $C$ qua $BD.$

$B$ và $D$ cũng đối xứng với chính nó qua $BD.$

Do đó $BD$ là trục đối xứng với chính nó qua $BD$.

⇒ $BD$ là trục đối xứng của hình thoi.

Tương tự $AC$ cũng là trục đối xứng của hình thoi.

5. Giải bài 78 trang 106 sgk Toán 8 tập 1

Đố. Hình 103 biểu diễn một phần của cửa xếp, gồm những thanh kim loại dài bằng nhau và được liên kết với nhau bởi các chốt hai đầu và tại trung điểm. Vì sao tại mỗi vị trí của cửa xếp, các tứ giác trên hình vẽ đều là hình thoi, các điểm chốt $I, K, M, N, O$ đều nằm trên một đường thẳng.

*

Bài giải:

*

Các tứ giác $IEKF, KGMH$ là hình thoi nên $KI$ là phân giác góc $EKF, KM$ là phân giác của góc $GKH$.

Mà \(\widehat{EKF} = \widehat{HKG}\)

Nên \(\widehat{K_{1}}\) = \(\widehat{K_{2}}\) = \(\widehat{K_{4}}\) = \(\widehat{K_{5}}\)

Do đó \(\widehat{K_{2}}\) +\(\widehat{K_{3}}\) + \(\widehat{K_{4}}\) = \(\widehat{K_{2}}\) + \(\widehat{K_{3}}\) + \(\widehat{K_{1}}=180^0\)

Suy ra $I, K, M$ thẳng hàng.

Xem thêm: Soạn Bài Học Đường Đời Đầu Tiên Lớp 6 Tập 2 Cánh Diều Chi Tiết

Chứng minh tương tự, các điểm $I, K, M, N, O$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài tập sgk toán lớp 8 với giải bài 73 74 75 76 77 78 trang 105 106 sgk toán 8 tập 1!