Trắc nghiệm nâng cao đạo hàm
Tải xuống 53 721 5
hijadobravoda.com xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Trắc nghiệm nâng cao đạo hàm, tài liệu bao gồm 53 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Bạn đang xem: Bài tập đạo hàm nâng cao có lời giải
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Trắc nghiệm nâng cao đạo hàm
Đạo hàm
A. Lý thuyết chung
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa :
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và \({x_0} \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0}\) là : \({f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
1.2. Chú ý :
Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\) thì :
\({f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại \({x_0}\) thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học:
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
\({f^\prime }\left( {{x_0}} \right)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C ) của hàm số y = f(x) tại \({M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in (C)\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in (C)\) là :
\(y = {f^\prime }\left( {{x_0}} \right) \cdot \left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)
2.2. Ý nghĩa vật lí :
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s(t) tại thời điểm \({t_0}\) là \(v\left( {{t_0}} \right) = {s^\prime }\left( {{t_0}} \right).\)
Cường độ tức thời của điện lượng Q= Q(t) tại thời điểm \({t_0}\) là : \(I\left( {{t_0}} \right) = {Q^\prime }\left( {{t_0}} \right)\).
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho \(u = u(x);v = v(x);C\) : là hằng số .
\({(u \pm v)^\prime } = {u^\prime } \pm {v^\prime }\)
\(\begin{array}{l}{(u \cdot v)^\prime } = {u^\prime } \cdot v + {v^\prime } \cdot u\\\quad \Rightarrow {(C.u)^\prime } = C \cdot {u^\prime }\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{{u^\prime }.v - {v^\prime }.u}}{{{v^2}}},(v \ne 0)\\ \Rightarrow {\left( {\frac{C}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{C.{u^\prime }}}{{{u^2}}}\end{array}\)
Nếu \(y = f(u),u = u(x) \Rightarrow y_x^\prime = y_u^\prime \cdot u_x^\prime \).
3.2. Các công thức :
\({(C)^\prime } = 0\quad ;{(x)^\prime } = 1\)
\({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n \cdot {x^{n - 1}}\quad \Rightarrow {\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n \cdot {u^{n - 1}} \cdot {u^\prime }\quad ,(n \in \mathbb{N},n \ge 2)\)
\(\begin{array}{l}{(\sqrt x )^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},(x > 0)\\ \Rightarrow {(\sqrt u )^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{2\sqrt u }},(u > 0)\end{array}\)
\({(\sin x)^\prime } = \cos x\quad \Rightarrow {(\sin u)^\prime } = {u^\prime } \cdot \cos u\)
\({(\cos x)^\prime } = - \sin x\quad \Rightarrow {(\cos u)^\prime } = - {u^\prime } \cdot \sin u\)
\({(\tan x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\quad \Rightarrow {(\tan u)^\prime } = \frac{{{u^\prime }}}{{{{\cos }^2}u}}\)
\({(\cot x)^\prime } = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\quad \Rightarrow {(\cot u)^\prime } = - \frac{{{u^\prime }}}{{{{\sin }^2}u}}.\)
4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại \({x_0}\) vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm \({x_0}\) là :
\(df\left( {{x_0}} \right) = {f^\prime }\left( {{x_0}} \right) \cdot \Delta x.\)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm \({f^\prime }(x)\) thì tích \({f^\prime }(x) \cdot \Delta x\) được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) . Kí hiệu : \(df(x) = {f^\prime }(x) \cdot \Delta x = {f^\prime }(x) \cdot dx\) hay \(dy = {y^\prime } \cdot dx\).
4.2. Công thức tính gần đúng :
\(f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) \approx f\left( {{x_0}} \right) + {f^\prime }\left( {{x_0}} \right) \cdot \Delta x\)
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
Định nghĩa: \({f^{\prime \prime }}(x) = {\left< {{f^\prime }(x)} \right>^\prime }\)
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm \({t_0}\) là \(a\left( {{t_0}} \right) = {f^{\prime \prime }}\left( {{t_0}} \right)\).
5.2. Đạo hàm cấp cao : \({f^{(n)}}(x) = {\left< {{f^{(n - 1)}}(x)} \right>^\prime },(n \in \mathbb{N},n \ge 2)\).
B. Bài tâp
Tính đạo hàm
Câu 1: Tìm a, b để hàm số f(x)=x2−1x−1ax+b khi x≥0 khi x0 có đạo hàm tại điểm x=0.
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 11}\\{b = 11}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 10}\\{b = 10}\end{array}} \right.\).
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 12}\\{b = 12}\end{array}} \right.\).
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 1}\\{b = 1}\end{array}} \right.\).
Câu 2: Tìm a, b để hàm số f(x)=ax2+bx+1asinx+bcosx khi x≥0khix0 có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 0\)
A. \(a = 1;b = 1\).
B. \(a = - 1;b = 1\).
C. \(a = - 1;b = - 1\).
D. \(a = 0;b = 1\).
Câu 3: Cho hàm số \(f(x) = x(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 1000)\). Tính \({f^\prime }(0)\).
A. 10000 !
B. 1000 !.
C. 1100 !.
D. 1110 ! .
Câu 4: Cho hàm số f(x)=4x2+83−8x2+4x0 khi x≠0 khi x=0.Giá trị của \({f^\prime }(0)\) bằng:
A. \(\frac{1}{3}.\)
B. \( - \frac{5}{3}.\)
C.. \(\frac{4}{3}.\)
D. Không tồn tại
Câu 5: Với hàm số f(x)=xsinπx0khi x≠0khi x=0.Để tìm đạo hàm \({f^\prime }(x) = 0\) một học sinh lập luận qua các bước như sau:
1. \(|f(x)| = |x|.\left| {\sin \frac{\pi }{x}} \right| \le |x|\).
2.Khi \(x \to 0\) thì \(|x| \to 0\) nên \(|f(x)| \to 0 \Rightarrow f(x) \to 0\).
3.Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0) = 0\) nên hàm số liên tục tại x = 0.
4.Từ f(x) liên tục tại \(x = 0 \Rightarrow f(x)\) có đạo hàm tại x = 0.
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1 .
B. Bước 2 .
C. Bước 3 .
D. Không tồn tại.
Câu 6: Cho hàm số f(x)=xsin1x20 khi x≠0 khi x=0
(1) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0.
(2) Hàm số f(x) không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Trong các mệnh đề trên:
A. Chỉ (1) đúng.
B. Chỉ (2) đúng.
C. Cả (1),(2) đều đúng.
D. Cả (1),(2) đều sai.
Câu 7: Cho hàm số f(x)=ax2+bx2x−1khix≥1 khi x.Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.
A. \(a = - 1,b = 0\).
B. \(a = - 1,b = 1\).
C. \(a = 1,b = 0\).
D. \(a = 1,b = 1\).
Câu 8: Đạo hàm của hàm sốf(x)=x2+x+1 x−1+3 khi x≤1 khi x>1là:
A. f"(x)=2x12x−1 khi x1 khi x>1
B.f"(x)=2x+11x−1 khi khi x1x>1
C.f"(x)=2x+1 khi x≤112x−1 khi x>1
D.f"(x)=2x+112x−1khi x1khi x>1
Câu 9:Cho hàm sốf(x)=x2+x+1x+1 x2+ax+b
khi x≥0khi x0. Tìm a, b để hàm số f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).
A. \(a = 0,b = 11\).
B. \(a = 10,b = 11\).
C. \(a = 20,b = 21\).
D. \(a = 0,b = 1\).
Câu 10: Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 2} \right)\left( {{x^4} + 3} \right)\) bằng biểu thức có dạng \(a{x^8} + b{x^6} + c{x^5} + 15{x^4} + d{x^3} + e{x^2} + gx\). Khi đó \(a - b + c - d + e - g\) bằng:
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 5 .
Câu 11: Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 2x + 3}}{{{x^3} - 2}}\) bằng biểu thức có dạng \(\frac{{a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e}}{{{{\left( {{x^3} - 2} \right)}^2}}}\). Khi đó \(a + b + c + d + e\) bằng:
A. -12.
B. -10.
C. 8 .
D. 5 .
Câu 12: Đạo hàm của hàm số \(y = (x - 2)\sqrt {{x^2} + 1} \) biểu thức có dạng \(\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\). Khi đó a.b.c bằng:
A. -2.
B. -4.
C. -6.
D. -8.
Câu 13: Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) biểu thức có dạng \(\frac{{ax + b}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}\). Khi đó P = a.b bằng:
A. P = 1.
B. P= -1.
C. P = 2.
D. P = -2.
Câu 14: Cho \(f(x) = \frac{x}{{(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2017)}}\) thì \({f^\prime }(0)\)
A. \(\frac{1}{{2017!}}\).
B. 2017 !.
C. \( - \frac{1}{{2017!}}\).
D. \( - 2017\) !
Câu 15: Cho hàm số \(f(x) = \frac{{|1 + x| - |1 - x|}}{{|1 + x| + |1 - x|}}\). Đạo hàm \({f^\prime }(x)\) là biểu thức nào sau đây?
A. −1x21 khi x−1,x>1khi−1x1
B.2x21 khi x−1,x>1khi−1≤x≤1
C. 1x2−1 khi x−1,x>1 khi −1≤x≤1
D. −3x22 khi x−1,x>1 khi −1x1
Câu 16: Cho hàm số \(y = \sin \left( {{{\cos }^2}x} \right) \cdot \cos \left( {{{\sin }^2}x} \right)\). Đạo hàm \({y^\prime } = a \cdot \sin 2x \cdot \cos (\cos 2x)\). Giá trị của a là số nguyên thuộc khoảng nào sau đây?
A. (0;2)
B. (-1;5).
C. (-3;2).
D. (4;7).
Câu 17: Cho hàm số \(y = \sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos x} } } \) với \(x \in (0;\pi )\) có \({y^\prime }\) là biểu thức có dạng \(a \cdot \sin \frac{x}{8}\). Khi đó a nhận giá trị nào sau đây:
A. \(\frac{1}{4}\).
B. \( - \frac{1}{4}\).
C. \(\frac{1}{8}\).
D. \( - \frac{1}{8}\).
Câu 18: Đạo hàm của hàm số \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) ( a là hằng số) là:
A. \( - \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }}\)
B. \(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^3}} }}\).
C. \(\frac{{2{a^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }}\).
D. \(\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^2} - {x^2}} \right)}^3}} }}\).
Câu 19: Cho hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \). Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. \({y^3} \cdot {y^{\prime \prime }} + 1 = 0\).
B. \({y^2} \cdot {y^{\prime \prime }} - 1 = 0\).
C. \(3{y^2} \cdot {y^{\prime \prime }} + 1 = 0\).
D. \(2{y^3} \cdot {y^{\prime \prime }} + 3 = 0\).
Câu 20: Cho hàm số \(y = \frac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. \(2{y^{\prime \prime }} + y = 0\).
B. \({y^{\prime \prime }} + y = 0\).
C. \({y^{\prime \prime }} - y = 0\).
D. \(2{y^{\prime \prime }} - 3y = 0\).
Câu 21: Cho \(f(x) = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) và \(g(x) = 3{\sin ^2}x \cdot {\cos ^2}x\). Tổng \({f^\prime }(x) + {g^\prime }(x)\) bằng biểu thức nào sau đây?
A. \(6\left( {{{\sin }^5}x + {{\cos }^5}x + \sin x \cdot \cos x} \right)\).
B. \(6\left( {{{\sin }^5}x - {{\cos }^5}x - \sin x \cdot \cos x} \right)\).
C. 6 .
D. 0 .
Câu 22: Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{ - x + 1}}\). Tìm \({f^{(30)}}(x)\) :
A. \({f^{(30)}}(x) = 30!{(1 - x)^{ - 30}}\).
B. \({f^{(30)}}(x) = 30!{(1 - x)^{ - 31}}\).
C. \({f^{(30)}}(x) = - 30!{(1 - x)^{ - 30}}\).
D. \({f^{(30)}}(x) = - 30!{(1 - x)^{ - 31}}\).
Câu 23: Cho hàm số \(y = \cos x\). Khi đó \({y^{(2016)}}(x)\) bằng
A. \( - \cos x\).
B. \(\sin x\).
C. \( - \sin x\).
Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Bài Tập Hóa 8 Trang 30 Sgk Hóa Học 8, Giải Bài Tập Hóa Học 8 Trang 30, 31
D. \(\cos x\).
Câu 24: Cho hàm số \(y = {\cos ^2}2x\). Giá trị của biểu thức \({y^{\prime \prime \prime }} + {y^{\prime \prime }} + 16{y^\prime } + 16y - 8\) là kết quả nào sau đây?