Với phương pháp giải các dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số cùng Giải tích gồm phương thức giải chi tiết, bài xích tập minh họa có lời giải và bài tập từ luyện sẽ giúp học sinh biết phương pháp làm bài tập những dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số và cách giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) số lượng giới hạn của hàm số tại một điểm:

* giới hạn hữu hạn: Cho khoảng K đựng điểm x0 . Ta bảo rằng hàm số f(x) xác minh trên K (có thể trừ điểm x0) có số lượng giới hạn là L lúc x dần tới x0 ví như với dãy số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L xuất xắc f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn của hàm số

Nhận xét: nếu như f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có số lượng giới hạn dần cho tới dương vô cực khi x dần dần tới x0 nếu với tất cả dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới âm vô cực khi x dần dần tới x0 nếu với đa số dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) giới hạn của hàm số trên vô cực:

* giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn là L lúc x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (−∞;b)có giới hạn là L khi x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có giới hạn dần tới dương khôn xiết (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với tất cả dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) xác minh trên (−∞;b)có giới hạn là dần dần tới dương khôn cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

*

Chú ý:

- các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí bên trên ta chỉ áp dụng cho phần đa hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) khẳng định trên K cất điểm x0 (có thể các hàm kia không xác minh tại x0). Trường hợp g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) luật lệ về số lượng giới hạn vô cực

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) số lượng giới hạn một bên:

* giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: mang sử hàm số f xác định trên khoảng tầm x0;b,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên yêu cầu là số thực L khi dần mang lại x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với tất cả dãy số bất kể (xn) phần đông số thuộc khoảng chừng (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: trả sử hàm số f xác định trên khoảng tầm a;x0,x0∈ℝ. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bên trái là số thực L lúc x dần cho x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với đa số dãy bất kể (xn) số đông số thuộc khoảng (a; x0) nhưng mà lim xn = x0 ta đều có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- nhấn xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng lúc thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* giới hạn vô cực:

- những định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được vạc biểu giống như như tư tưởng 1 và quan niệm 2.

- dấn xét: các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu nạm L vày +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài xích tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- giả dụ f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng luật lệ về số lượng giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: giới hạn tại vô rất

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa bao gồm số mũ lớn nhất

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho bố hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K cất điểm x0 (có thể những hàm đó không xác minh tại x0). Ví như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị chặn của hàm số f(x) do hai hàm số g(x) cùng h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm con số giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: số lượng giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong đó f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta đối chiếu f(x) và g(x) sao để cho xuất hiện nhân tử bình thường là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* trường hợp f(x) với g(x) là các đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) cùng g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi kia limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), nếu như giới hạn này còn có dạng 00thì ta liên tục quá trình như trên.

Chú ý: nếu như tam thức bậc nhì ax2 + bx + c tất cả hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* nếu f(x) cùng g(x) là các hàm cất căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để đưa về những đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* trường hợp f(x) với g(x) là những hàm đựng căn thức không cùng cấp ta sử dụng phương thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: số lượng giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- phân chia tử cùng mẫu mang đến xn cùng với n là số mũ cao nhất của biến hóa ở mẫu mã (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) bao gồm chứa vươn lên là x trong dấu căn thì chuyển xk ra bên ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của vươn lên là x trong dấu căn), sau đó chia tử với mẫu mang lại lũy thừa cao nhất của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: số lượng giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- giả dụ biểu thức chứa trở nên số dưới dấu căn thì nhân và phân chia với biểu thức liên hợp

- ví như biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng chủng loại và đem lại cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng nguyên tắc tính số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: cho hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: tìm tham số m nhằm hàm số có giới hạn tại một điểm mang đến trước

Phương pháp giải:

Sử dụng dìm xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 cho trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Tra cứu m.

Khi kia với m vừa tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 đến trước và giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với cái giá trị làm sao của a thì hàm số đã cho có số lượng giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số nhằm tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài tập từ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A. -2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Quý giá của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết trái đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề như thế nào đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: Câu 1, 2, 3 Trang 89 Vở Bài Tập Toán Lớp 4 Trang 89 Chính Xác

ko tồn tại

Câu 15. Tìm những giá trị thực của tham số m nhằm hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.