Bài viết trình bày đầy đủ các hệ thức lượng vào tam giác cùng một số dạng toán liên quan, trong mỗi dạng toán, nội dung bài viết hướng dẫn chi tiết phương pháp giải toán, những ví dụ minh họa và bài bác tập tự luyện đi kèm.
Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác
A. HỆ THỨC LƯỢNG trong TAM GIÁCCho tam giác $ABC$ tất cả $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài tía cạnh đối diện với tía góc $A$, $B$, $C$ của tam giác.
1. Định lí cosin:$a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A.$$b^2 = c^2 + a^2 – 2cacos B.$$c^2 = a^2 + b^2 – 2abcos C.$2. Định lí sin:$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C = 2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$).3. Độ dài đường trung tuyến đường của tam giác: gọi $m_a$, $m_b$, $m_c$ là độ dài những đường trung con đường lần lượt vẽ từ những đỉnh $A$, $B$, $C$ của tam giác $ABC.$$m_a^2 = fracb^2 + c^22 – fraca^24.$$m_b^2 = fracc^2 + a^22 – fracb^24.$$m_c^2 = fraca^2 + b^22 – fracc^24.$4. Những công thức tính diện tích tam giác: hotline $R$, $r$ theo thứ tự là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp, mặt đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, $p$ là nửa chu vi $left( p = fraca + b + c2 ight)$ và $S$ là diện tích của tam giác.$S = frac12absin C$ $ = frac12bcsin A = frac12casin B.$$S = fracabc4R = pr.$$S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ (công thức Hê-rông).
B. CÁC DẠNG TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG vào TAM GIÁCDạng 1: Tính một trong những yếu tố vào tam giác theo một số yếu tố đến trước (trong kia có tối thiểu một cạnh). Giải tam giác.Phương pháp:+ thực hiện định lí cosin và định lí sin.+ đo lường và tính toán các nhân tố trung gian (trước lúc tính yếu đuối tố bắt buộc tìm) bằng những hệ thức lượng trong tam giác ham mê hợp.Chú ý: bạn đọc hãy ôn tập lại các hệ thức lượng vào tam giác vuông (đã học tập ở lớp 9).
Bài toán 1: cho tam giác $ABC$ có $b = 23$ $cm$, $c = 14$ $cm$, $widehat A = 100^0 .$a) Tính các cạnh cùng góc còn sót lại của tam giác.b) Tính diện tích của tam giác.c) Tính đường cao $h_a$ vẽ tự $A$ của tam giác.
Theo định lí cosin, ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ = 23^2 + 14^2 – 2.23.14.cos 100^0 $ $ approx 836,83.$Do đó: $a = sqrt 836,83 approx 28.9$ ($cm$).Từ định lí cosin ta cũng có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac(28,9)^2 + 14^2 – 23^22.28,9.14 approx 0,62.$Do đó $widehat B approx 51^0 41′ .$Khi đó: $widehat C approx 180^0 – left( 100^0 + 51^0 41′ ight) = 28^0 19′ .$b) Ta có: $S = frac12absin C$ $ = frac12.28,9.23.sin 28^0 19′ approx 157,6$ $left( cm^2 ight).$c) Ta có: $h_a = bsin C$ $ = 23.sin 28^0 19′ approx 10,9$ $(cm).$
Bài toán 2: cho tam giác $ABC$ có $a = 12$ $cm$, $widehat B = 70^0 $, $widehat C = 35^0 .$a) Tính những cạnh và những góc còn lại của tam giác.b) Tính bán kính $R$ của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác.
a) Ta có: $widehat A = 180^0 – (widehat B + widehat C)$ $ = 180^0 – left( 70^0 + 35^0 ight) = 75^0 .$Theo định lí sin, ta có: $fracasin A = fracbsin B = fraccsin C.$Suy ra: $left{ eginarray*20lb = fracasin Bsin A\c = fracasin Csin Aendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb = frac12.sin 70^0 sin 75^0 \c = frac12.sin 35^0 sin 75^0 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20lb approx 11,7cm\c approx 7,1cmendarray ight.$b) Theo định lí sin, ta có: $2R = fracasin A$ $ Rightarrow R = fraca2sin A$ $ = frac122sin 75^0 approx 6,2$ $(cm).$Nhận xét:– Ta sử dụng định lí cosin khi biết $2$ cạnh cùng góc xen giữa $2$ cạnh đó.– Ta sử dụng định lí sin khi biết:+ $1$ cạnh với góc đối lập cạnh đó.+ $1$ cạnh và $2$ góc kề cùng với nó (lúc này ta công thêm được góc đối lập cạnh đó).– việc tìm kiếm các nhân tố của tam giác lúc biết các yếu tố khác nói một cách khác là giải tam giác.
Bài toán 3: mang đến tam giác $ABC$ tất cả $a = 13$ $cm$, $b = 14$ $cm$, $c = 15$ $cm.$a) Tính $hat A$, $cos B$, $ an C.$b) Tính diện tích s của tam giác.
Theo định lí cosin, ta có:$cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ = frac14^2 + 15^2 – 13^22.14.15 = 0,6$ $ Rightarrow widehat A approx 53^0 7′.$$cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = frac13^2 + 15^2 – 14^22.13.15 approx 0,5.$Ta có: $sin ^2B = 1 – cos ^2B$ $ = 1 – (0,5)^2 = 0,75 = frac34$ $ Rightarrow sin B = fracsqrt 3 2.$Do $cos B approx 0,5 Rightarrow widehat B approx 60^0 .$Từ đó: $widehat C approx 180^0 – left( 53^0 7′ + 60^0 ight) = 66^0 53’$ $ Rightarrow an C = an 66^0 53′ approx 2,34.$
Dạng 2: chứng minh các hệ thức liên quan tới các yếu tố trong tam giác. Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng đã bao gồm và các tính chất, những yếu tố vào tam giác để triệu chứng minh.
Bài toán: mang lại tam giác $ABC$ có những cạnh $a$, $b$, $c$, những đường cao khớp ứng là $h_a$, $h_b$, $h_c.$ hội chứng minh:a) $r = (p – a) an fracA2$ $ = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) $frac1h_a + frac1h_b + frac1h_c = frac1r.$
Ta có: $r = IE = AE. an fracA2$ $(*).$Mặt khác: $AE + AF + BF$ $ + BD + CD + CE = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2(BD + CD) = 2p$ $ Rightarrow 2AE + 2a = 2p$ $ Rightarrow AE = phường – a.$Thế vào $(*)$ ta có: $r = (p – a) an fracA2.$Tương tự ta chứng minh được: $r = (p – b) an fracB2$ $ = (p – c) an fracC2.$b) phụ thuộc vào công thức tính diện tích tam giác: $S = frac12ah_a = frac12bh_b = frac12ch_c = pr$, ta có: $frac1h_a = fraca2S$, $frac1h_b = fracb2S$, $frac1h_c = fracc2S$, $frac1r = fracpS.$
Dạng 3: nhấn dạng tam giác.Phương pháp: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác và những tính chất của những tam giác sệt biệt: tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.Chú ý:+ ví như $b^2 + c^2 = a^2$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$+ nếu như $b = c$ thì tam giác $ABC$ cân tại $A.$+ giả dụ $a = b = c$ thì tam giác $ABC$ đều.
Bài toán 1: xác định dạng của tam giác $ABC$, biết: $S = frac14(a + b – c)left( a – b + c ight).$
Theo phương pháp Hê-rông, ta có: $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$Do đó: $sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = frac14(a + b – c)(a – b + c)$ $ Leftrightarrow sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) $ $ = (p – c)(p – b)$ $ Leftrightarrow p(p – a)(p – b)(p – c)$ $ = (p – c)^2(p – b)^2$ $ Leftrightarrow p(p – a)$ $ = (p – b)(p – c)$ $ Leftrightarrow p^2 – pa$ $ = p^2 – pb – pc + bc$ $ Leftrightarrow p(b + c – a) = bc$ $ Leftrightarrow (a + b – c)(b + c – a) = 2bc$ $ Leftrightarrow (b + c)^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + 2bc + c^2 – a^2 = 2bc$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2.$Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
Bài toán 2: Tam giác $ABC$ có những góc và các cạnh thoả mãn: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 .$ chứng tỏ tam giác $ABC$ là tam giác cân.
Ta có: $frac1 + cos Bsin B = frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 $ $ Leftrightarrow left( frac1 + cos Bsin B ight)^2 = left( frac2a + csqrt 4a^2 – c^2 ight)^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^2sin ^2B = frac(2a + c)^24a^2 – c^2$ $ Leftrightarrow frac(1 + cos B)^21 – cos ^2B = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow frac1 + cos B1 – cos B = frac2a + c2a – c.$Theo định lí cosin, ta có: $cos B = fraca^2 + c^2 – b^22ac.$Do đó: $frac1 + cos B1 – cos B$ $ = frac1 + fraca^2 + c^2 – b^22ac1 – fraca^2 + c^2 – b^22ac$ $ = fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac.$Tức là: $fraca^2 + c^2 – b^2 + 2acb^2 – a^2 – c^2 + 2ac$ $ = frac2a + c2a – c$ $ Leftrightarrow 2a^3 + 2ac^2 – 2ab^2 + 4a^2c$ $ – a^2c – c^3 + b^2c – 2ac^2$ $ = 2ab^2 – 2a^3 – 2a^2 – 4a^2c$ $ + b^2c – a^2c – c^3 + 2ac^2$ $ Leftrightarrow 4a^3 – 4ab^2 = 0$ $ Leftrightarrow 4aleft( a^2 – b^2 ight) = 0$ $ Leftrightarrow a^2 = b^2$ $ Leftrightarrow a = b.$Vậy tam giác $ABC$ cân nặng tại $C.$
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆNBài toán 1: Tính các góc, các cạnh còn lại, mặt đường cao $h_a$ và nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp $R$ của tam giác $ABC$ biết:a) $a = 118cm$, $b = 92cm$, $widehat C = 58^0 .$b) $b = 31,2cm$, $widehat A = 124^0 30’$, $widehat C = 18^0 .$c) $a = 153cm$, $b = 117cm$, $c = 134cm.$
Bài toán 2: gọi $m_a$, $m_b$, $m_c$ là những trung tuyến đường ứng với những cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$:a) Biết $a = 26cm$, $b = 18cm$, $c = 16cm.$ Tính $m_a.$b) Biết $a = 7cm$, $b = 11cm$, $m_c = 6cm.$ Tính $c.$c) Biết $a = 5cm$, $b = 7 cm$, $widehat C = 46^0 .$ Tính $m_b.$
Bài toán 3: gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của những đường chéo $AC$, $BD$ của tứ giác $ABCD$, triệu chứng minh:a) $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4IJ^2.$b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $ Leftrightarrow AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2.$c) khẳng định công thức tính đường chéo cánh $d$ của hình thang cân biết đáy nhỏ dại là $a$, đáy mập là $b$ và lân cận là $c.$
Bài toán 4: chứng minh tập các điểm nhưng tổng các bình phương khoảng cách đến $2$ điểm cố định $A$, $B$ đến trước bằng một số không đổi $k^2$ là một trong những đường tròn.
Bài toán 5: đến tam giác $ABC$, bệnh minh:a) $S = fracabc4R.$b) $S = pr.$c) $sin A = frac2bcsqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$d) $S = sqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$
Bài toán 6: call $r_a$, $r_b$, $r_c$ theo thứ tự là bán kính đường tròn bàng tiếp thuộc cạnh $a$, $b$, $c$ của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ hội chứng minh:a) $r_a = p an fracA2$ $ = fracSp – a$ $ = frac(p – b)(p – c)r.$b) $frac1r_a + frac1r_b + frac1r_c = frac1r.$c) $S = sqrt r.r_a.r_b.r_c .$d) $r = p an fracA2 an fracB2 an fracC2.$e) $r_a + r_b + r_c – r = 4R$ (công thức Stây-nơ).
Xem thêm: Lý Thuyết Vật Lý 10 Bài 2 Bài Tập, Lý Thuyết Vật Lý 10: Bài 2
Bài toán 7: mang đến tam giác $ABC$, chứng minh:a) $h_a = frac2asqrt p(p – a)(p – b)(p – c) .$b) $c^2 = (a – b)^2 + 4S.frac1 – cos Csin C.$c) $ asin Bsin C = h_asin A.$d) $cot A + cot B + cot C$ $ = fracRleft( a^2 + b^2 + c^2 ight)abc.$
Bài toán 8: đến tam giác $ABC$, hội chứng minh:a) giả dụ $m_a = c$ thì $ an B = 3 an C.$b) nếu $a + c = 2b$ thì $ac = 6Rr.$
Bài toán 9: chứng minh điều kiện bắt buộc và đủ nhằm tam giác $ABC$ vuông là:a) $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$b) $ an fracB2 = fracba + c.$c) $2R + r = p.$
Bài toán 10: xác minh dạng tam giác $ABC$, biết rằng:a) $(p – b)cot fracC2 = p an fracB2.$b) $fracsin ^2Bsin ^2C = frac an B an C.$c) $S = frac23R^2left( sin ^3A + sin ^3B + sin ^3C ight).$d) $sin ^4C + 2sin ^4A + 2sin ^4B$ $ = 2sin ^2Cleft( sin ^2A + sin ^2B ight).$
Bài toán 11: minh chứng rằng trường hợp $left{ eginarray*20lc = 2acos B\fraca^3 + b^3 – c^3a + b – c = c^2endarray ight.$ thì tam giác $ABC$ đều.