7 hằng đẳng thức đáng nhớ rằng một giữa những kiến thức nói theo một cách khác quan trọng độc nhất trong trương trình toán lớp 7 và các cấp về sau. Trong bài bác ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức lưu niệm và những dạng đổi khác tương đương của chúng. Trong khi sẽ luyện tập áp dụng các hằng đẳng thức vào làm hầu như dạng bài tập cơ bản.

Bạn đang xem: Bài tập khai triển hằng đẳng thức

1. 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Cho hai biểu thức A với B. Từ nhị biểu thức này, ta rất có thể lập ra 7 hằng đẳng thức như sau:

(A + B)² = A² + 2AB + B² (A – B)² = A²  – 2AB + B²

⇒ A² +B² = (A-B)² – 2AB = (A+B)² – 2AB

(A + B)(A – B) = A² – B²(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3A² – B³(A + B)( A² – AB + B²) = A³ +B³(A – B)( A² + AB + B²) = A³ –B³

2. Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: sử dụng 7 hằng đẳng thức Viết những biểu thức sau bên dưới dạng tổng

(2x + 1)²(2x + 3y)²(x + 1)(x – 1)m² – n²(5x + 3yz)²(yx – 3ab)²(x² + 3)(xˆ4 + 9 – 3x²)(9x + 3)²(xy + 2yz)²

Lời giải

(2x+1)² = 4x²+ 4x +1(2x+3y)² = 4x² + 2.2x.3y + 9y² = 4x² + 12x.y + 9y²(x+1)(x-1) = x²-1m² – n² = (m – n)(m + n)(5x+3yz)² = 25x² + 2.5x.3yz + 9y²z² = 25x² + 30xyz + 9y²z²(yx – 3ab)² = y²z² – 2.yx.3ab + 9a²b²(x²+3)(xˆ4 + 9 – 3x²) = (x²)² + 3³ = x>xˆ4+27(9x+3)² = 81x² + 54x + 9(xy+2yz)² =x²y² + 2.xy.2yz + 4y²z² = x²y² +4xy² z + 4y² z²

Bài tập 2: thực hiện 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng rút gọn biểu thức sau:

A=(x+y)² – (x-y)²

*Cách 1: triển khai từng hằng số vào biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

A = (x+y)² – (x-y)² = x² + 2xy + y² – (x² – 2xy + y²) = 4xy

*Cách 2: thực hiện hằng đẳng thức A²–B = (A + B)(A – B)

A=(x+y)² – (x-y)² = (x+y+x-y)(x+y-x+y) = 2x.2y = 4xy

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)²

*Cách 1: khai triển từng hằng số vào biểu thức B bằng hằng đẳng thức

(A ± B)² = A² ± 2AB+B²

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = x² + 2xy + y² – 2x² + 2y² + x² – 2xy + y² = 4y²

*Cách 2: 

B = (x+y)² – 2(x+y)(x-y) + (x-y)² = (x + y – x + y)² = (2y)² = 4y²

Bài tập 3: Tính nhanh những biểu thức sau

 153² + 94.153 + 47² 126² – 126.152 + 5776

Lời giải:

153² + 94.153 + 47² = 153² + 2.47.153 + 47² = (153+47)² = 200² = 40000126² – 126.152 + 5776 = 126² – 2.126.76 + 76² = (126-76)² = 50²

3. Các dạng chuyển đổi cần lưu lại ý

Chú ý phép tính toán, nhân solo thức với đa thức, nhân nhiều thức với nhiều thức, triển khai hằng đẳng thức. Những bài toán yêu cầu viết lại biểu thức. (Cần chú ý các phép tắc về nhân đối chọi đa thức và học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. để ý về vết của số hạng với dấu của những phép toán.Có thể vận dụng các đặc thù về 7 hằng đẳng thức lưu niệm để tra cứu raBài tập về tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của một biểu thức. Họ thực hiện nay bước trước tiên là biến đổi biểu thức yêu mong về dạng M = A² + B trong đó A là một trong những biểu thức chứa đổi mới và B là một số hoặc một biểu thức số độc lập. Theo đặc điểm về bình phương của phần nhiều số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn gồm A² ≥ 0 với đa số giá trị của trở nên số, vì vậy A² + B ≥ B đề nghị biểu thức có mức giá trị bé dại nhất bởi B. Vết = xẩy ra khi A = 0.Bài tập về tìm giá bán trị lớn nhất của một biểu thức. Chuyển đổi biểu thức yêu cầu về dạng M = -A² + B trong những số đó A là một biểu thức chứa phát triển thành và B là một vài hoặc một biểu thức số độc lập. Theo tính chất về bình phương của đều số thực luôn luôn không âm nên luôn luôn luôn gồm A² ≥ 0 với đa số giá trị của biến đổi số, cho nên vì thế -A² + B ≤ B đề xuất biểu thức có giá trị lớn nhất bằng B. Vệt = xảy ra khi A=0.

Chú ý: phụ thuộc vào 7 hằng đẳng thức kỷ niệm trên ta còn có thể biến đổi và suy ra các đẳng thức tương đương như sau:

*

Từ hằng đẳng thức 1); 2); 3) ta có thể mở rộng thêm những đẳng thức sau:

*

*

*

*

*

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)2

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)2

Lời giải:

a, (x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

b, (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 – 9y2

c, (5 – x)2 = 52 – 10x + x2 = 25 – 10x + x2

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)2

b, (3 – y)2

c, (x – 1/2)2

Lời giải:

a, (x – 1)2 = x2 –2x + 1

b, (3 – y)2 = 9 – 6y + y2

c, (x – 1/2)2 = x2 – x + 1/4

Câu 3: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng bình phương một tổng:

a, x2 + 6x + 9

b, x2 + x + 1/4

c,2xy2 + x2y4 + 1

Lời giải:

a, x2 + 6x + 9 = x2 + 2.x.3 + 32 = (x + 3)2

b, x2 + x + 1/4 = x2 + 2.x.1/2 + (1/2 )2 = (x + 1/2)2

c, 2xy2 + x2y4 + 1 = (xy2)2 + 2.xy2.1 + 12 = (xy2 + 1)2

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)2 + (x – y)2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)2 + (x – y)2

= x2 + 2xy + y2 + x2 – 2xy + y2

= 2x2 + 2y2

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2

= <(x + y) + (x – y)>2 = (2x)2 = 4x2

c, (x – y + z)2 + (z – y)2 + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)2 + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)2

= <(x – y + z) + (y – z)>2 = x2

Câu 5: Biết số thoải mái và tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng tỏ rằng a2 phân tách cho 5 dư 1.

Xem thêm: Vuabai86 - Vua Bài 86

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a2 = (5k + 4)2

= 25k2 + 40k + 16

= 25k2 + 40k + 15 + 1

= 5(5k2 + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k2 + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a2 = (5k + 4)2 chia đến 5 dư 1.

Câu 6: Tính quý giá của biểu thức sau:

a, x2 – y2 tại x = 87 cùng y = 13

b, x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

c, x3 + 9x2+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x2 – y2 = (x + y)(x – y)

b, núm x = 87, y = 13, ta được:

x2 – y2 = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27

= x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33

= (x + 3)3

Thay x = 97, ta được: (x + 3)3 = (97 + 3)3 = 1003 = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = 2a3

b, (a + b)<(a – b)2 + ab> = (a + b) = a3 + b3

c, (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a2 – ab + b2) + (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 + b3 + a3 – b3 = 2a3