A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN.

Bạn đang xem: Bài tập phép vị tự

1. Định nghĩa.

Cho điểm

*
và một trong những thực
*
. Phép đổi mới hình đổi mới mỗi điểm
*
thành điểm
*
sao cho
*
được điện thoại tư vấn là phép vị từ tâm
*
, tỉ số
*
. Kí hiệu
*

Vậy

*
.

2. Biểu thức tọa độ.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho

*
,
*
, gọi
*
thì

*
.

3. Tính chất:

- Nếu
*
thì
*
*
.- Phép vị từ bỏ tỉ số k.- Biến ba điểm thẳng hàng thành cha điểm và bảo toàn máy tự giữa ba điểm đó.- phát triển thành một con đường thẳng thành con đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với con đường thẳng sẽ cho, biến chuyển tia thành tia, phát triển thành đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- đổi mới đường tròn có buôn bán kính
*
thành đường tròn có phân phối kính
*

4. Vai trung phong vị tự của hai đường tròn.

Định lí:Với hai tuyến đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự vươn lên là đường tròn này thành mặt đường tròn kia.

Tâm của phép vị từ này được gọi là trung tâm vị từ của hai tuyến đường tròn.

Cho hai tuyến đường tròn

*
*
:

+ Nếu
*
thì những phép vị tự
*
biến
*
thành
*
.+ Nếu
*
*
thì các phép vị tự
*
*
biến
*
thành
*
. Ta gọi
*
là chổ chính giữa vị tự bên cạnh còn
*
là tâm vị tự vào của hai đường tròn.


Nếu Nếu

*
*
thì có
*
biến
*
thành
*
.


B. BÀI TẬP.

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.

Phương pháp:

Dùng định nghĩa, đặc điểm và biểu thức tọa độ của phép vị tự.

Ví dụ 1.Trong mặt phẳng

*
, mang đến đường thẳng
*
có phương trình
*
. Hãy viết phương trình của mặt đường thẳng
*
là hình ảnh của
*
qua phép vị tự tâm
*
tỉ số
*
.

Lời giải:

Cách 1:Lấy

*
.

Gọi

*
. Theo biểu thức tọa độ ta có

*
!! ext .0\y"=-2y+ ext !!!! ext .0endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx=-frac12x"\y=-frac12y"endarray ight." />.

Thay vào

*
ta được
*

Vậy

*
.

Cách 2:Do

*
song song hoặc trùng với
*
nên phương trình bao gồm dạng :
*
. Lấy
*
thuộc
*
. Gọi
*
ta có
*
. Nạm vào
*
ta được
*
.

Vậy

*
.

Ví dụ 2.Trong phương diện phẳng

*
, mang lại đường tròn
*
. Tìm hình ảnh của mặt đường tròn
*
qua phép vị từ tâm
*
tỉ số
*

Lời giải:

Đường tròn

*
có tâm
*
, buôn bán kính
*
.

Gọi

*

*
.

Gọi

*
là hình ảnh của
*
qua phép vị tự
*
thì
*
có tâm
*
, bán kính
*
.

Vậy

*
.

Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA hai ĐƯỜNG TRÒN.

Phương pháp:

Sử dụng biện pháp tìm trọng điểm vị từ bỏ của hai đường tròn trong bài bác học.

Ví dụ 1.Cho hai tuyến đường tròn

*
*
đựng nhau, với
*
. Tìm trung tâm vị tự của nhì đương tròn
*
*
.


Lời giải:

Do

*
*
nên bao gồm hai phép vị tự
*
*
biến
*
thành
*
.


Ví dụ 2.Cho hai tuyến phố tròn

*
*
. Tìm tâm vị trường đoản cú của hai tuyến đường tròn.

Lời giải:

Đường tròn

*
có tâm
*
,bán kính
*
; mặt đường tròn
*
có tâm
*
, chào bán kính
*
. Do
*
*
nên bao gồm hai phép vị tự
*
*
biến
*
thành
*
. Gọi
*

Với

*
khi đó
*
.

*
.

Tương trường đoản cú với

*
, tính được
*
.

Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một hình

*
nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác minh hình
*
) lúc đó ta xem những điểm đề nghị dựng chính là giao của hai tuyến đường trong đố một đường có sẵn cùng một con đường là ảnh vị trường đoản cú của một con đường khác.

Ví dụ 1.Cho nhị điểm

*
cố định và hai tuyến phố thẳng
*
. Dựng tam giác
*
có đỉnh
*
thuộc
*
và trọng tâm
*
thuộc
*
.

Lời giải:

Phân tích:

Giả sử đang dựng được tam giác

*
thỏa mãn yêu thương cầu bài xích toán.

Gọi

*
là trung điểm của
*
, theo đặc điểm trọng chổ chính giữa ta có
*

*
*

Với

*
là ảnh của
*
qua
*
.

Lại có

*

Cách dựng:

Dựng đường thẳng
*
ảnh của
*
qua
*
.Dựng giao điểm
*
.Dựng giao điểm
*
.

Hai điểm

*
là hai điểm cần dựng.

Chứng minh:

Rõ ràng từ bí quyết dựng ta có

*
;
*
là trung điểm của
*
*
là trọng tâm tam giác
*
.

Biện luận:

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của

*
*
.

Ví dụ 2.Cho hai tuyến đường tròn đồng tâm

*
*
. Xuất phát từ 1 điểm
*
trên con đường tròn lớn
*
hãy dựng đường thẳng
*
cắt
*
tại
*
và cắt
*
tại
*
sao cho
*
.

Lời giải:

Phân tích:


Giả sử sẽ dựng được con đường thẳng

*
cắt
*
tại
*
*
tại
*
sao cho
*
, lúc đó
*
.

*
nên
*
với mặt đường tròn

*
là ảnh của
*
qua
*
.

Lại có

*
nên
*
.


Cách dựng:

Dựng đường tròn
*
ảnh của mặt đường tròn
*
qua phép vị tự
*
.Dựng giao điểm
*
của
*
*
.Dựng đường thẳng
*
đi qua
*
cắt các đường tròn
*
tại
*
tương ứng.

Đường thẳng

*
chính là đường thẳng đề xuất dựng.

Chứng minh:

Gọi

*
là trung điểm của
*
thì
*
cũng là trung điểm của
*
.

*
nên
*
, phương diện khác
*
*
có thông thường trung điểm
*
nên
*
*
suy ra
*
. Vậy
*
.

Biện luận:Gọi

*
lần lượt là phân phối kính những đường tròn
*
*
ta có:

Nếu
*
thì có một nghiệm hình.Nếu
*
ta có thể quy về kiếm tìm tập vừa lòng điểm
*
và search một phép vị tự
*
nào đó sao cho
*
suy ra quỹ tích điểm
*
là ảnh của quỹ tích
*
qua
*
.

Ví dụ 1.Cho đường tròn

*
và một điểm
*
nằm ở ngoài đường tròn sao cho
*
,
*
là một điểm chuyển đổi trên mặt đường tròn
*
. Phân giác vào góc
*
cắt
*
tại điểm
*
. Kiếm tìm tập phù hợp điểm
*
khi
*
di cồn trên
*
.

Lời giải:


Theo đặc thù đường phân giác ta có

*

*

*


*
, mà
*
thuộc con đường tròn
*
nên
*
thuộc
*
ảnh của
*
qua
*
. Vậy tập hòa hợp điểm
*
*
ảnh của
*
qua
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
. Qua điểm
*
trên cạnh
*
vẽ các đường song song với các đường trung tuyến
*
*
, tương xứng cắt
*
*
tai
*
. Tra cứu tập thích hợp điểm
*
sao cho
*
là hình bình hành.

Lời giải:


Gọi

*
,
*
*
là trung tâm của tam giác
*
.

Ta có

*
*
.

Tương từ ta có

*


Từ đó ta có

*
Do đó
*
, mà
*
thuộc cạnh
*
nên
*
thuộc ảnh của cạnh
*
qua
*
đoạn đó là đoạn
*
.

Vậy tập phù hợp điểm

*
là đoạn
*
.

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI TOÁN.

Ví dụ 1.Trên cạnh

*
của tam giác
*
lấy những điểm
*
sao cho
*
, những điểm
*
lần lượt là trung điểm của những cạnh
*
, gọi
*
là giao điểm của
*
*
,
*
là giao điểm của
*
với
*
. Hội chứng minh
*
.

Lời giải:


Gọi

*
là trung tâm của tam giác
*
.

Ta có

*
là con đường trung bình của tam giác
*
nên
*
, khía cạnh khác
*
là trung điểm của
*
nên
*
là trung điểm của
*
.

Ta có

*
.


Tương tự

*
.

Vậy

*
*
suy ra
*
.

Ví dụ 2.Cho tam giác

*
. Gọi
*
lần lượt là trung điểm của
*
. Đường tròn
*
ngoại tiếp tam giác
*
cắt
*
tại
*
. Gọi
*
là hình chiếu vuông góc của
*
trên
*
. Bệnh minh
*
thẳng hàng.

Xem thêm: Bài Tập Toán Trang 73 Lớp 3, Giải Bài Tập Toán Lớp 3 Trang 73 Đầy Đủ Nhất

Lời giải:

Xét phép vị tự

*
ta có

*
nên
*
do đó
*
biến tam giác
*
thành tam giác
*
, vì vậy phép vị trường đoản cú này phát triển thành đường tròn
*
thành mặt đường tròn
*
ngoại tiếp tam giác
*
.