Bài Tập Toán 12 Trang 112

a)(int_frac-12^frac12sqrt<3> (1-x)^2dx) b) (int_0^fracpi2sin(fracpi4-x)dx)

c)(int_frac12^2frac1x(x+1)dx) d) (int_0^2x(x+1)^2dx)

e)(int_frac12^2frac1-3x(x+1)^2dx) g) (int_frac-pi2^fracpi2sin3xcos5xdx)

Giải

a) (int_frac-12^frac12sqrt<3> (1-x)^2dx) = (-int_frac-12^frac12(1-x)^frac23d(1-x)=-frac35(1-x)^frac53|_frac-12^frac12)

 = (-frac35left < frac12sqrt<3>4-frac3sqrt<3>92sqrt<3>4 ight >=frac310sqrt<3>4(3sqrt<3>9-1))

b) (int_0^fracpi2sin(fracpi4-x)dx)=(-int_0^fracpi2sin(fracpi4-x)d(fracpi4-x)) = (cos(fracpi4-x)|_0^fracpi2)

= (cos(fracpi4-fracpi2)-cosfracpi4=0)

c)(int_frac12^2frac1x(x+1)dx)=(int_frac12^2(frac1x-frac1x+1)dx =lnleft | fracxx+1 ight ||_frac12^2=ln2)

d)(int_0^2x(x+1)^2dx)= (int_0^2(x^3+2x^2+x)dx=(fracx^44+frac23x^3+fracx^22)|_0^2)

= (frac164+frac163+2= 11 frac13)

e)(int_frac12^2frac1-3x(x+1)^2dx)= (int_frac12^2frac-3(x+1)+4(x+1)^2dx=int_frac12^2left < frac-3x+1+frac4(x+1)^2 ight >dx)

= (left ( -3.lnleft | x+1 ight |-frac4x+1 ight )|_frac12^2= frac43-3ln2)

g)Ta có (f(x) = sin3xcos5x) là hàm số lẻ.

Bạn đang xem: Bài tập toán 12 trang 112

Vì (f(-x) = sin(-3x)cos(-5x))

(= -sin3xcos5x = -f(x))

nên:

(int_frac-pi2^fracpi2sin3xcos5x =0)

Chú ý: có thể tính trực tiếp bằng cách đặt (x= -t) hoặc chuyển đổi thành tổng.

Bài 2 trang 112 - SGK Giải tích 12

Tính những tích phân sau:

a) (int_0^2 1 - x ight dx) b) (int_0^pi over 2 s in^2xdx)

c) (int_0^ln2 e^2x + 1 + 1 over e^x dx) d) (int_0^pi s in2xcos^2xdx)

Giải

a) Ta có (1 - x = 0 ⇔ x = 1).

(int_0^2 left dx = int_0^1 1 - x ight dx + int_1^2 left dx)

(= - int_0^1 (1 - x) d(1 - x) + int_1^2 (x - 1) d(x - 1))

( = - (1 - x)^2 over 2|_0^1 + (x - 1)^2 over 2|_1^2 = 1 over 2 + 1 over 2 = 1)

b) (int_0^pi over 2 s in^2xdx)

( = 1 over 2int_0^pi over 2 (1 - cos2x) dx)

( = 1 over 2left( x - 1 over 2sin2x ight)|_0^pi over 2 = pi over 4)

c) (int_0^ln2 e^2x + 1 + 1 over e^x dx = int_0^ln2 (e^x + 1 + e^ - x) dx)

( = (e^x + 1 - e^ - x)|_0^ln2 = e + 1 over 2)

d) Ta tất cả : (sin2xcos^2x) = (1 over 2sin2x(1 + cos2x) = 1 over 2sin2x + 1 over 4sin4x)

Do đó : (eqalign& int_0^pi s in2xcos^2xdx = int_0^pi (1 over 2sin2x + 1 over 4sin4x) dx cr & = ( - 1 over 4cos2x - 1 over 16cos4x) ).

Bài 3 trang 113 -SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) (int_0^3fracx^2(1+x)^frac32dx) (Đặt (u= x+1)) 

b) (int_0^1sqrt1-x^2dx) (Đặt (x = sint) )

c) (int_0^1frace^x(1+x)1+x.e^xdx) (Đặt (u = 1 + x.e^x))

d)(int_0^fraca2frac1sqrta^2-x^2dx) (Đặt (x= asint))

Giải

a) Đặt (u= x+1 Rightarrow du = dx) cùng (x = u - 1).

Xem thêm: Giải Sbt Vật Lý 7: Bài Tập Vật Lý 7 Bài 2 : Sự Truyền Ánh Sáng

Khi (x =0) thì (u = 1, x = 3) thì (u = 4). Khi đó :

(int_0^3fracx^2(1+x)^frac32dx) = (int_1^4frac(u-1)^2u^frac32du =int_1^4fracu^2-2u+1u^frac32du)

= ((frac23u^frac32-4.u^frac12-2u^frac-12)|_1^4=frac53)

b) Đặt (x = sint), (0& x = 0 Rightarrow t = 0 cr & x = a over 2 Rightarrow t = pi over 6 cr} )

Do kia ta có:

(intlimits_0^a over 2 1 over sqrt a^2 - x^2 dx = intlimits_0^pi over 6 acos tdt over sqrt a^2 - a^2sin ^2t = intlimits_0^pi over 6 dt = tleft ).