Giải bài tập trang 12 bài 2 Tổng và hiệu của hai vectơ Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10. Câu 1: Cho đoạn thẳng...

Bạn đang xem: Bài tập toán hình 10 trang 12


Bài 1 trang 12 sgk hình học lớp 10

Cho đoạn thẳng \(AB\) và điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\) sao cho \(AM > MB\). Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}\)- \(\overrightarrow{MB}\)

Giải

Trên đoạn thẳng \(AB\) ta lấy điểm \(M"\) để có \(\overrightarrow{AM"}\)= \(\overrightarrow{MB}\)

*

Như vậy \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\)= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AM"}\) = \(\overrightarrow{MM"}\) ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ \(\overrightarrow{MM"}\) chính là vec tơ tổng của \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{MM"}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) .

Ta lại có \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + (- \(\overrightarrow{MB}\))

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{BM}\) = \(\overrightarrow{BM}\) + \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)

Vậy \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{BA}\)

 

Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10

Cho hình bình hành \(ABCD\) và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

Giải

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

\(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MD}\) + \(\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)+ (\(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\))

\(ABCD\) là hình bình hành nên hai vec tơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{DC}\) là hai vec tơ đối nhau nên:

\(\overrightarrow{BA}\) +\(\overrightarrow{DC}\) = \(\overrightarrow{0}\)

Suy ra \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

\(\overrightarrow{AB}\)= \(\overrightarrow{MB}\) - \(\overrightarrow{MA}\)

\(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{MD}\) - \(\overrightarrow{MC}\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) + \(\overrightarrow{CD}\) = (\(\overrightarrow{MB}\) +\(\overrightarrow{MD}\)) - (\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{MC}\)).

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

\(\overrightarrow{AB}\) +\(\overrightarrow{CD}\) = \(\overrightarrow{0}\)

Suy ra: \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MC}\) = \(\overrightarrow{MB}\) + \(\overrightarrow{MD}\).

 

Bài 3 trang 12 sgk hình học lớp 10

Chứng minh rằng đối với tứ giác \(ABCD\) bất kì ta luôn có 

a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\);

b) \(\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\).

Giải

a) Theo quy tắc 3 điểm của tổng vec tơ, ta có

\(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}\); \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}= \overrightarrow{CA}\)

Như vậy

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= ( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}) = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA}\)

mà \(\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}\).

Xem thêm: Tóm Tắt Các Phương Châm Hội Thoại Là Gì? Các Loại Phương Châm Hội Thoại

Vậy \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CD} +\overrightarrow{DA}= \overrightarrow{0}\)

b) Theo quy tắc 3 điểm của hiệu vec tơ, ta có 

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{DB}\) (1)

\(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DB}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CD}\).

Bài 4 trang 12 sgk hình học lớp 10

Cho tam giác \(ABC\). Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành \(ABIJ, BCPQ, CARS\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS}= \overrightarrow{0}\)

Giải

Ta xét tổng:

\(\overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{JI} +\overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}+ \overrightarrow{SR} = \overrightarrow{RR}= \overrightarrow{0}\)(1)

Mặt khác, ta có \(ABIJ, BCPQ\) và \(CARS\) là các hình bình hành nên:

\(\overrightarrow{JI}\) = \(\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{QP}\) = \(\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{SR}\) = \(\overrightarrow{CA}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{JI}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{SR}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{AA}= \overrightarrow{0}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\overrightarrow{RJ}\) + \(\overrightarrow{IQ}\) + \(\overrightarrow{PS}\)= \(\overrightarrow{0}\) (đpcm)