Hướng dẫn giải bài xích §1. Hệ tọa độ trong không gian, Chương III. Phương pháp toạ độ trong ko gian, sách giáo khoa Hình học tập 12. Nội dung bài xích giải bài bác 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học tập 12 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, phương pháp giải bài bác tập hình học có trong SGK để giúp các em học sinh học giỏi môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập toán hình 12 trang 68

Lý thuyết

1. Tọa độ của điểm và của vectơ

a) Hệ tọa độ

Trong ko gian, cho tía trục $4xOx’, yOy’, zOz’$ vuông góc cùng nhau từng đôi một.

*

Các vectơ (overrightarrow i ,,,overrightarrow j ,,overrightarrow k) thứu tự là những vectơ đơn vị trên những trục xOx’, yOy’, zOz’ với: (left | veci ight |=left | vecj ight |=left | veck ight |=1.)

Hệ trục vì thế được gọi là hệ trục tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ.

b) Tọa độ của một điểm

Trong không gian Oxyz, mang đến điểm A tùy ý mãi mãi duy nhất cỗ số ((x_A,y_A,z_A)) sao cho: (A(x_A,y_A,z_A)Leftrightarrow overrightarrowOA=(x_A;y_A;z_A).)

Bộ số ((x_A,y_A,z_A)) được gọi là tọa độ điểm A.

c) Tọa độ của vectơ

Trong không khí Oxyz, cho vectơ (vecu) vĩnh cửu duy nhất cỗ số ((x,y,z)) sao cho: (overrightarrowu=(x;y;z))(Leftrightarrow vecu=xveci+yvecj+zveck.)

Bộ số: ((x,y,z)) được call là tọa độ của vectơ (vecu).

2. Biểu thức tọa độ của những phép toán vectơ

Cho nhị vectơ (vecu=(x;y;z)) và (vecu’=(x’;y’; z’)):

(vecu+vecu’=(x+x’;y+y’;z+ z’))

(vecu-vecu’=(x-x’;y-y’;z- z’))

(kvecu=(kx;ky;kz))

(vecu=u’Leftrightarrow left{eginmatrix x=x’\ y=y’\ z=z’ endmatrix ight.)

(vecu=vecu’) thuộc phương (Leftrightarrow left{eginmatrix x=kx’\ y=ky’\ z=kz’ endmatrix ight.)

(left | vecu ight |=sqrtx^2+y^2+z^2)

Cho hai điểm (A(x_A,y_A,z_A)); (B(x_B,y_B,z_B)):

(overrightarrowAB=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A))

(AB=sqrt(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2)

(overrightarrowIA=k.overrightarrowIB(k eq 1)Leftrightarrow left{eginmatrix x_I=fracx_A-k.x_B1-k\ \ y_I=fracy_A-k.y_B1-k\ \ z_I=fracz_A-k.z_B1-k endmatrix ight.)

Đặc biệt I là trung điểm AB thì: (left{eginmatrix x_I=fracx_A+x_B2\ \ y_I=fracy_A+y_B2\ \ z_I=fracz_A+z_B2 endmatrix ight.)

G là trọng tâm (Delta ABC): (left{eginmatrix x_G=fracx_A+x_B+x_C3\ \ y_G=fracy_A+y_B+y_C3\ \ z_G=fracz_A+z_B+z_C3 endmatrix ight.)

G là trọng tâm của tứ diện ABCD: (left\beginmatrix x_G=fracx_A+x_B+x_C+x_D4\ \ y_G=fracy_A+y_B+y_C+y_D4\ \ z_G=fracz_A+z_B+z_C+z_D4 endmatrix ight.)

​3. Tích vô hướng

Công thức tính tích vô hướng:

(veca.vecb=left veca.vecb = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2).

Công thức tính góc giữa hai vectơ:

(cos(vec a,vec b) = fracvec a.vec b vec b ight.)

4. Phương trình khía cạnh cầu

Trong không gian Oxyz, mặt ước tâm I(a;b;c), bán kính R tất cả phương trình: ((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.)

Nhận xét:

Phương trình khía cạnh cầu hoàn toàn có thể viết dưới dạng (x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0), đk (A^2+B^2+C^2-D> 0).

Khi đó, phương diện cầu có tâm (I(A;B;C)), nửa đường kính (R = sqrt A^2 + B^2 + C^2 – D .)

Dưới đấy là phần hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài xích tập vào phần hoạt động của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 63 sgk Hình học tập 12

Trong không khí (Oxyz), cho một điểm (M). Hãy so với vecto (overrightarrow OM ) theo ba vecto không đồng phẳng (overrightarrow i ;,overrightarrow j ;,overrightarrow k ) đã đến trên các trục (Ox, Oy, Oz).

Trả lời:

Ta có: (overrightarrow OM = xoverrightarrow i + yoverrightarrow mj + zoverrightarrow k )

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 64 sgk Hình học tập 12

Trong không gian Oxyz, mang lại hình vỏ hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, bao gồm (overrightarrow AB ;,overrightarrow AD ;,overrightarrow mAA’ ) theo trang bị tự thuộc hướng cùng với (overrightarrow i ;,overline j ;,overrightarrow k ) và tất cả AB = a, AD = b, AA’ = c. Hãy tính tọa độ các vecto (overrightarrow AB ;,overrightarrow AC ;,overrightarrow AC’ ;,overrightarrow AM ) với M là trung điểm của cạnh C’D’.

Trả lời:

Giả sử ta bao gồm hình vẽ như sau: (Chú ý vị trí các điểm trên hệ trục tọa độ)

*

Từ hình vẽ trên ta có: (Aleft( 0;0;0 ight),Bleft( -a;0;0 ight),) (Dleft( 0;b;0 ight), A’left( 0;0;c ight)).

Suy ra (Cleft( -a;b;0 ight),D’left( 0;b;c ight),) (B’left( -a;0;c ight),C’left( -a;b;c ight)), (Mleft( dfrac-a2;b;c ight)).

Vậy (overrightarrow AB = left( -a;0;0 ight),) (overrightarrow AC = left( -a;b;0 ight),) (overrightarrow AC’ = left( -a;b;c ight)), (overrightarrow AM = left( dfrac-a2;b;c ight)).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 66 sgk Hình học tập 12

Với hệ tọa độ (Oxyz) trong không gian, mang đến (overrightarrow a = (3,0,1);,overrightarrow b = (1, – 1, – 2);,overrightarrow c = (2,1, – 1)). Hãy tính (overrightarrow a .(overrightarrow b + overrightarrow c );,,|overrightarrow a + overrightarrow b |)

Trả lời:

Ta có:

(overrightarrow b + overrightarrow c = left( 1 + 2; – 1 + 1;left( – 2 ight) + left( – 1 ight) ight) = left( 3;0; – 3 ight)) ( Rightarrow overrightarrow a .left( overrightarrow b + overrightarrow c ight) = 3.3 + 0.0 + 1.left( – 3 ight) = 6)

(overrightarrow a + overrightarrow b = left( 3 + 1;0 + left( – 1 ight);1 + left( – 2 ight) ight) = left( 4; – 1; – 1 ight)) ( Rightarrow left| overrightarrow a + overrightarrow b ight| = sqrt 4^2 + left( – 1 ight)^2 + left( – 1 ight)^2 = sqrt 18 = 3sqrt 2 )

4. Trả lời câu hỏi 4 trang 67 sgk Hình học tập 12

Viết phương trình mặt cầu tâm (I(1; -2; 3)) có bán kính (r = 5).

Trả lời:

Phương trình mặt mong là: (left( x – 1 ight)^2 + left( y + 2 ight)^2 + left( z – 3 ight)^2 = 5^2 = 25)

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài xích 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học tập 12. Các bạn hãy hiểu kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

hijadobravoda.com trình làng với chúng ta đầy đủ phương pháp giải bài tập hình học 12 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12 của bài xích §1. Hệ tọa độ trong không gian trong Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12

1. Giải bài bác 1 trang 68 sgk Hình học tập 12

Cho cha vectơ (overrightarrowa)(2; -5; 3), (overrightarrowb)(0; 2; -1), (overrightarrowc)(1; 7; 2).

a) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrowd=4.overrightarrowa-frac13overrightarrowb+3overrightarrowc).

b) Tính tọa độ của vectơ (overrightarrowe=overrightarrowa-4overrightarrowb-2overrightarrowc).

Bài giải:

Ta có:

(eginarrayla),,overrightarrow d = 4overrightarrow a – frac13overrightarrow b + 3overrightarrow c \,,,,,,overrightarrow d = 4left( 2; – 5;3 ight) – frac13left( 0;2; – 1 ight) + 3left( 1;7;2 ight)\,,,,,,overrightarrow d = left( 8; – 20;12 ight) – left( 0;frac23; – frac13 ight) + left( 3;21;6 ight)\,,,,,,overrightarrow d = left( 11;frac13;frac553 ight)\b),,overrightarrow e = overrightarrow a – 4overrightarrow b – 2overrightarrow c \,,,,,,overrightarrow e = left( 2; – 5;3 ight) – 4left( 0;2; – 1 ight) – 2left( 1;7;2 ight)\,,,,,,overrightarrow e = left( 2; – 5;3 ight) – left( 0;8; – 4 ight) – left( 2;14;4 ight)\,,,,,,overrightarrow e = left( 0; – 27;3 ight)endarray)

2. Giải bài xích 2 trang 68 sgk Hình học tập 12

Cho ba điểm (A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1)).

Tìm tọa độ giữa trung tâm (G) của tam giác (ABC).

Bài giải:

(G) là giữa trung tâm của tam giác ABC thì (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC=overrightarrow0) (*)

Giả sử (G(x; y; z)) thì (overrightarrowGA = (1 – x; -1 – y; 1 – z));

(overrightarrowGB = (-x; 1 – y; 2 – z));

(overrightarrowGC = (1 – x; -y; 1 – z));

⇒ (overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC = (2 – 3x; -3y; 4 – 3z))

Do hệ thức (*), ta có :

(2 – 3x = 0 Rightarrow x = frac23) ;

(-3y = 0 Rightarrow y = 0);

( 4 – 3z = 0 Rightarrow z = frac43).

Vậy (G(frac23;0;frac43)).

Nhận xét: trọng tâm (G) của tam giác (ABC) bởi trung bình cộng các tọa độ tương ứng của (3) đỉnh của tam giác.

(left{ eginarraylx_G = fracx_A + x_B + x_C3 = frac1 + 0 + 13 = frac23\y_G = fracy_A + y_B + y_C3 = frac – 1 + 1 + 03 = 0\z_G = fracz_A + z_B + z_C3 = frac1 + 2 + 13 = frac43endarray ight. Rightarrow Gleft( frac23;0;frac43 ight))

3. Giải bài xích 3 trang 68 sgk Hình học tập 12

Cho hình vỏ hộp (ABCD.A’B’C’D’) biết (A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1)),

(C’ (4; 5; -5)). Tính tọa độ các đỉnh sót lại của hình hộp.

Bài giải:

Theo trả thiết ta gồm hình vẽ sau:

*

Ta có:

(eqalign{& overrightarrow AB = left( 1;1;1 ight) cr& overrightarrow A mD = left( 0; – 1;0 ight) cr& overrightarrow BC = overrightarrow A mD Leftrightarrow left{ matrixx_C – 2 = 0 hfill cry_C – 1 = – 1 hfill crz_C – 2 = 0 hfill cr ight. Leftrightarrow left matrixx_C = 2 hfill cry_C = 0 hfill crz_C = 2 hfill cr ight. cr )

Vậy (C = (2; 0; 2))

Suy ra (overrightarrow CC’ = left( 2;5; – 7 ight))

Từ (overrightarrow AA = overrightarrow BB = overrightarrow DD = overrightarrow CC = left( 2;5; – 7 ight))

Suy ra

(left{ matrixx_A – 1 = 2 hfill cry_A – 0 = 5 hfill crz_A – 1 = – 7 hfill cr ight. Leftrightarrow left{ matrixx_A = 3 hfill cry_A = 5 hfill crz_A = – 6 hfill cr ight.)

Vậy (A’ (3; 5; -6))

Tương tự:

(eginarraylleft{ eginarraylx_B’ – 2 = 2\y_B’ – 1 = 5\z_B’ – 2 = – 7endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx_B’ = 4\y_B’ = 6\z_B’ = – 5endarray ight. Rightarrow B’left( 4;6; – 5 ight)\left{ eginarraylx_D’ – 1 = 2\y_D’ + 1 = 5\z_D’ – 1 = – 7endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylx_D’ = 3\y_D’ = 4\z_D’ = – 6endarray ight. Rightarrow D’left( 3;4; – 6 ight)endarray)

4. Giải bài bác 4 trang 68 sgk Hình học 12

Tính:

a) (overrightarrowa.overrightarrowb) với (overrightarrowa(3; 0; -6)), (overrightarrowb(2; -4; 0)).

b) (overrightarrowc.overrightarrowd) với (overrightarrowc(1; -5; 2)), (overrightarrowd(4; 3; -5)).

Bài giải:

Ta có:

a) (overrightarrowa.overrightarrowb = 3.2 + 0.(-4) +(-6).0 = 6).

b) (overrightarrowc.overrightarrowd = 1.4 + (-5).3 + 2.(-5) = -21).

5. Giải bài xích 5 trang 68 sgk Hình học tập 12

Tìm tâm và cung cấp kính của các mặt cầu gồm phương trình sau đây:

a) (x^2 + m y^2 + m z^2- m 8x m – m 2y m + m 1 m = m 0) ;

b) (3x^2 + m 3y^2 + m 3z^2- m 6x m + m 8y m + m 15z m - m 3 m = m 0).

Bài giải:

a) ♦ Cách 1:

Ta tất cả phương trình:

(x^2 + m y^2 + m z^2- m 8x m – m 2y m + m 1 m = m 0)

( Leftrightarrow m left( x m - m 4 ight)^2 + m left( y m - m 1 ight)^2 + m z^2 = m 4^2)

Đây là mặt cầu tâm (I(4; 1; 0)) và có nửa đường kính (r = 4).

♦ phương pháp 2:

Ta có: (a = 4;,,b = 1;,,c = 0 ;,,d = 1 Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 – d = 16 > 0) vày đó đấy là phương trình mặt cầu tâm (Ileft( 4;1;0 ight)), nửa đường kính (R=4).

b) ♦ Cách 1:

Ta có phương trình:

(3x^2 + m 3y^2 + m 3z^2- m 6x m + m 8y m + m 15z m - m 3 m = m 0)

(Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 m – 2x + 8 over 3y + 5z m – 1 = 0)

(⇔ (x-1)^2+(y+frac43)^2+(z+frac52)^2= (frac196)^2).

Đây là mặt cầu tâm (J(1; -frac43;-frac52)) và có bán kính là (R = frac196).

♦ bí quyết 2:

(eginarrayl,,,,,,3x^2 + 3y^2 + 3z^2 – 6x + 8y + 15z – 3 = 0\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 – 2x + frac83y + 5z – 1 = 0endarray)

Ta có: (a = 1;,,b = – frac43;,,c = – frac52;,,d = – 1 Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 – d = frac33636 > 0) vày đó đó là phương trình mặt mong tâm (Jleft( 1; – frac43; – frac52 ight)), bán kính (R = frac196).

6. Giải bài bác 6 trang 68 sgk Hình học tập 12

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường thích hợp sau đây:

a) Có 2 lần bán kính (AB) với (A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)).

b) Đi qua điểm (A = (5; -2; 1)) và gồm tâm (C(3; -3; 1)).

Bài giải:

a) điện thoại tư vấn (I) là trung điểm của (AB), thì mặt mong có 2 lần bán kính (AB), bao gồm tâm (I) và buôn bán kính (r =frac12AB=IA).

Ta có:

(I (3; -1; 5)) và (r^2 = IA^2 = 9).

Xem thêm: 8386 Có Nghĩa Là Gì - Ý Nghĩa Và Bí Ẩn Đằng Sau Số 8386

Do vậy phương trình khía cạnh cầu đường kính (AB) gồm dạng:

(left( x m – m 3 ight)^2 + m left( y m + 1 ight)^2 + m left( z m - m 5 ight)^2 = m 9)

b) mặt cầu yêu cầu tìm bao gồm tâm (C(3; -3; 1)) cùng có nửa đường kính (r = CA = sqrt4+1+0=sqrt5)

Do đó phương trình khía cạnh cầu bao gồm dạng:

(left( x m – m 3 ight)^2 + m left( y m + m 3 ight)^2 + m left( z m - m 1 ight)^2 = m 5).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài tốt cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài 1 2 3 4 5 6 trang 68 sgk Hình học 12!