Hướng dẫn giải bài bác §3. Phương trình đường thẳng trong không gian, Chương III. Phương pháp toạ độ trong ko gian, sách giáo khoa Hình học tập 12. Nội dung bài bác giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học tập 12 bao gồm tổng hòa hợp công thức, lý thuyết, cách thức giải bài xích tập hình học bao gồm trong SGK để giúp các em học viên học tốt môn toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập toán hình 12 trang 89

Lý thuyết

1. Phương trình tham số của con đường thẳng

a) Phương trình tham số của con đường thẳng

Trong ko gian, đường thẳng (Delta) trải qua (M(x_0,y_0,z_0)) cùng nhận vectơ (vec u=(a,;b;c)) làm cho Vectơ chỉ phương (VTCP) tất cả phương trình tham số là:

(Delta: left{eginmatrix x=x_0+at\ y=y_0+bt\ z=z_0+ct end matrix ight.(tinmathbbR)) (t được hotline là tham số).

Nếu (a,b,c e 0) thì ta bao gồm phương trình (fracx – x_0a = fracy – y_0b = fracz – z_0c=t).

Hay (fracx – x_0a = fracy – y_0b = fracz – z_0c) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng (Delta).

b) một số trong những cách khẳng định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nếu (Delta _1 //Delta 2), (overrightarrowu_1) là một trong những VTCP của (Delta _1) thì (overrightarrowu_1) là 1 trong VTCP của (Delta _2).

Nếu (Delta _1perp Delta _2), (overrightarrowu_1) là một trong những VTCP của (Delta _1), (overrightarrowu_2) là một trong những VTCP của (Delta _2) thì (overrightarrowu_1.overrightarrowu_2=0.)

Nếu mặt đường thẳng (Delta) tất cả VTCP (vec u), tồn tại nhì vectơ (vec u_1) với (vec u_2) sao để cho (left{eginmatrix overrightarrowuperp overrightarrowu_1\ overrightarrowuperp overrightarrowu_2 endmatrix ight.) thì (overrightarrowu=left < overrightarrowu_1,overrightarrowu_2 ight >) là 1 trong những VTCP của (Delta).

Cho mặt đường thẳng (Delta) và mặt phẳng (P) sao cho: (igg lbrack eginmatrix Delta subset (P)\ Delta // (P) endmatrix). Gọi (overrightarrowu) là một VTCP (Delta), (overrightarrown_P) là VTPT của (P) thì (overrightarrowu.overrightarrown_P=0.)

Nếu (A,Bin Delta) thì (overrightarrowAB) là một trong VTCP của (Delta).

2. Vị trí kha khá giữa những đường thẳng

Trong không gian cho hai tuyến đường thẳng: (Delta _1) đi qua M1 và tất cả một VTCP (overrightarrowu_1), (Delta _2) đi qua m2 và có một VTCP (overrightarrowu_2).

Khi đó Vị trí tương đối giữa (Delta _1) và (Delta _2) được xác định như sau:

(Delta _1) và (Delta _2) chéo cánh nhau (Leftrightarrow left < overrightarrowu_1;overrightarrowu_2 ight >. overrightarrowM_1.M_2 eq 0).

(Delta _1) với (Delta _2) cắt nhau (Leftrightarrow left{eginmatrix left < overrightarrowu_1;overrightarrowu_2 ight >. overrightarrowM_1.M_2= 0\ overrightarrowu_1 eq k. overrightarrowu_2 endmatrix ight.).

(Delta _1) // (Delta _2) (Leftrightarrow left{eginmatrix overrightarrowu_1=k.overrightarrowu_2\ M_1in Delta _1, M_1 otin Delta _2 endmatrix ight.).

(Delta _1equiv Delta _2 Leftrightarrow left{eginmatrix overrightarrowu_1=k.overrightarrowu_2\ M_1in Delta _1, M_1in Delta _2 endmatrix ight.).

3. Góc giữa hai tuyến phố thẳng

Trong không gian cho hai tuyến phố thẳng (Delta _1) bao gồm một VTCP (overrightarrowu_1=(a_1;b_1;c_1)), (Delta _2) gồm một VTCP (overrightarrowu_2=(a_2;b_2;c_2))​, lúc đó:

(cos(Delta _1;Delta _2)=left | cos(overrightarrowu_1;overrightarrowu_2) ight |=fracleft left )(=frac a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 ight sqrta^2_1+b^2_1+c^2_1 .sqrta^2_2+b^2_2+c^2_2)

Nhận xét:

​(0^0leq (Delta _1;Delta _2)leq 90^0).

(Delta _1perp Delta _2Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0).

4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không khí cho con đường thẳng (Delta) có một VTCP (overrightarrowu=(a;b;c)), mặt phẳng (P) bao gồm một VTPT (overrightarrown=(A;B;C)), lúc đó:

(sin(widehatDelta ;(P))=left | cos(overrightarrown;overrightarrowu) ight |= frac Aa+Bb+Cc ight sqrtA^2+B^2+C^2.sqrta^2+b^2+c^2)

5. Các công thức tính khoảng cách liên quan cho đường thẳng

a) khoảng cách từ 1 điểm đến lựa chọn đường thẳng

Cho điểm M và mặt đường thẳng (Delta) trải qua N và có một VTCP (overrightarrowu). Lúc đó khoảng cách từ M đến (Delta) xác minh bởi công thức:

(d(M;Delta )=frac left < overrightarrowNM;overrightarrowu ight > ight )

b) khoảng cách từ giữa con đường thẳng cùng mặt phẳng tuy nhiên song

Cho đường thẳng (Delta) tuy vậy song với phương diện phẳng (P). M là 1 trong điểm thuộc con đường thẳng (Delta). Khi đó:

(d(Delta;(P))=d(M;(P)))

c) khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

♦ giải pháp 1: Trong không khí cho con đường thẳng (Delta _1) trải qua M1 tất cả một VTCP (overrightarrowu_1), (Delta _2) đi qua mét vuông có một VTCP (overrightarrowu_2). Lúc đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=frac .overrightarrowM_1M_2 ight )

♦ phương pháp 2: Gọi AB là đoạn vuông góc chung (Delta _1), (Delta _2) với(Ain Delta _1, Bin Delta _2) suy ra: (left{eginmatrix overrightarrowAB.overrightarrowu_1=0\ overrightarrowAB.overrightarrowu_2=0 endmatrix ight.). Khi đó:

(d(Delta _1;Delta _2)=AB)

Dưới đó là phần hướng dẫn trả lời các câu hỏi và bài bác tập vào phần hoạt động vui chơi của học sinh trên lớp sgk Hình học 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 82 sgk Hình học tập 12

Trong không gian (Oxyz) mang lại điểm (M_0left( 1;2;3 ight)) cùng hai điểm (M_1left( 1 + t;2 + t;3 + t ight)), (M_2left( 1 + 2t;2 + 2t;3 + 2t ight)) di động cầm tay với thông số (t). Hãy chứng tỏ ba điểm (M_0,M_1,M_2) luôn luôn thẳng hàng.

Trả lời:

Ta có:

(eqalign& overrightarrow M_0M_1 = (t,t,t);,,overrightarrow M_0M_2 = (2t,2t,2t) cr& Rightarrow overrightarrow M_0M_2 = 2overrightarrow M_0M_1 cr& Rightarrow overrightarrow M_0M_2 uparrow uparrow overrightarrow M_0M_1 cr )

⇒ bố điểm (M_0,M_1,M_2) luôn thẳng hàng.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 84 sgk Hình học 12

Cho đường thẳng Δ bao gồm phương trình thông số (left{ matrixx = – 1 + 2t hfill cr y = 3 – 3t hfill cr z = 5 + 4t hfill cr ight.). Hãy tìm tọa độ của một điểm M bên trên Δ với tọa độ một vecto chỉ phương của Δ.

Trả lời:

Một điểm M trực thuộc Δ là: (M (-1; 3; 5) ) với 1 vecto chỉ phương của Δ là (overrightarrow a = (2, – 3,4))

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 84 sgk Hình học 12

Cho hai tuyến phố thẳng d và d’ có phương trình tham mốc giới hạn lượt là: (left{ matrixx = 3 + 2t hfill cr y = 6 + 4t hfill cr z = 4 + t hfill cr ight.) và (left{ eginarraylx = 2 + t’\y = 1 – t’\z = 5 + 2t’endarray ight.)

a) Hãy chứng minh điểm (M(1; 2; 3) ) là vấn đề chung của (d) với (d’);

b) Hãy minh chứng (d) và (d’) bao gồm hai vecto chỉ phương không thuộc phương.

Trả lời:

a) cố tọa độ của (M) vào phương trình của (d) ta được:

(left{ eginarrayl1 = 3 + 2t\2 = 6 + 4t\3 = 4 + tendarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt = – 1\t = – 1\t = – 1endarray ight. Leftrightarrow t = – 1)

Do đó (Min d).

Thay tọa độ của (M) vào phương trình của (d’) ta được:

(left{ eginarrayl1 = 2 + t’\2 = 1 – t’\3 = 5 + 2t’endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt’ = – 1\t’ = – 1\t’ = – 1endarray ight. Leftrightarrow t’ = – 1)

Do kia (Min d’).

Vậy (M) là vấn đề chung của (d) với (d’).

b) Ta thấy (overrightarrow u_d = (2,4,1);overrightarrow u_d’ = (1, – 1,2)) là nhị vecto không tỉ lệ buộc phải hai veco kia không cùng phương.

4. Trả lời thắc mắc 4 trang 86 sgk Hình học 12

Chứng minh hai tuyến đường thẳng dưới đây trùng nhau:

(d:left{ eginarraylx = 3 – t\y = 4 + t\z = 5 – 2tendarray ight.) và (d’:left{ eginarraylx = 2 – 3t’\y = 5 + 3t’\z = 3 – 6t’endarray ight.)

Trả lời:

Ta thấy: (eqalign& overrightarrow u_d = ( – 1,1, – 2);,,overrightarrow u_d’ = ( – 3,3, – 6) cr& Rightarrow overrightarrow u_d’ = 3overrightarrow u_d cr )

Có ( M (3; 4; 5) ∈ d). Vắt tọa độ của (M) vào (d’) ta được:

(left{ eginarrayl3 = 2 – 3t’\4 = 5 + 3t’\5 = 3 – 6t’endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt’ = – dfrac13\t’ = – dfrac13\t’ = – dfrac13endarray ight. Leftrightarrow t’ = – dfrac13)

Do đó (M (3; 4; 5) ∈ d’) cần (d) trùng với (d’)

5. Trả lời thắc mắc 5 trang 89 sgk Hình học 12

Tìm số giao điểm của phương diện phẳng ((α): x + y + z – 3 = 0 ) với mặt đường thẳng (d) trong số trường vừa lòng sau:

(eqalign{& a),,d:left{ matrixx = 2 + t hfill cry = 3 – t hfill crz = 1 hfill cr ight. cr& b),,d:left{ matrixx = 1+2t hfill cry = 1 – t hfill crz = 1 – t hfill cr ight. cr& c),,d:left matrixx = 1 + 5t hfill cry = 1 – 4t hfill crz = 1 + 3t hfill cr ight. cr )

Trả lời:

a) Xét phương trình: ((2 + t) + (3 – t) + 1 – 3 = 0)

(⇔ 3 = 0) (vô nghiệm) ⇒ phương diện phẳng ((α)) và (d) không có điểm chung.

b) Xét phương trình: ((1 + 2t) + (1 – t) + (1 – t) – 3 = 0)

(⇔ 0 = 0) (vô số nghiệm) (⇒ d subset (α)).

c) Xét phương trình: ((1 + 5t) + (1 – 4t) + (1 + 3t) – 3 = 0)

(⇔ 4t = 0 ⇔ t = 0 ) ⇒ mặt phẳng ((α)) với (d) tất cả (1) điểm chung.

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học tập 12. Các bạn hãy phát âm kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

hijadobravoda.com trình làng với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài xích tập hình học 12 kèm bài xích giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học tập 12 của bài §3. Phương trình mặt đường thẳng trong không gian trong Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian cho chúng ta tham khảo. Nội dung cụ thể bài giải từng bài bác tập chúng ta xem dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học 12

1. Giải bài bác 1 trang 89 sgk Hình học tập 12

Viết phương trình thông số của đường thẳng (d) trong các trường phù hợp sau:

a) (d) đi qua điểm (M(5 ; 4 ; 1)) gồm vec tơ chỉ phương (overrightarrowa(2 ; -3 ; 1)) ;

b) (d) trải qua điểm (A(2 ; -1 ; 3)) và vuông góc với khía cạnh phẳng ((α)) bao gồm phương trình: (x + y – z + 5 = 0) ;

c) (d) trải qua điểm (B(2 ; 0 ; -3)) và tuy nhiên song với con đường thẳng (∆) tất cả phương trình: (left{eginmatrix x =1+2t\ y=-3+3t\ z=4t endmatrix ight.) ;

d) (d) đi qua hai điểm ( P(1 ; 2 ; 3)) cùng ( Q(5 ; 4 ; 4)).

Bài giải:

a) Phương trình mặt đường thẳng (d) gồm dạng:

(left{eginmatrix x =5+2t\ y=4-3t\ z=1+t endmatrix ight.), với (t ∈ mathbbR).

b) Đường thẳng (d) vuông góc với khía cạnh phẳng ((α): x + y – z + 5 = 0) nên bao gồm vectơ chỉ phương (overrightarrow u = overrightarrow n _left( alpha ight) = left( 1;1; – 1 ight)).

Vậy phương trình thông số của (d) có dạng:

(left{eginmatrix x= 2+t & \ y=-1+t &,tin R .\ z=3-t& endmatrix ight.)

c) Ta có: (overrightarrowu(2 ; 3 ; 4)) là vectơ chỉ phương của (∆). Vì chưng (d // ∆) phải (overrightarrowu) cũng chính là vectơ chỉ phương của (d).

Phương trình tham số của (d) gồm dạng:

(left{eginmatrix x=2+2t và \ y=3t &,tin R. \ z=-3 + 4t và endmatrix ight.)

d) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm (P(1 ; 2 ; 3)) cùng (Q(5 ; 4 ; 4)) yêu cầu nhận (overrightarrowPQ(4 ; 2 ; 1)) là một VTCP.

Vậy phương trình tham số bao gồm dạng:

(left{eginmatrixx= 1+4t & \ y =2+2t&,tin R. \ z=3+t& endmatrix ight.)

2. Giải bài 2 trang 89 sgk Hình học 12

Viết phương trình tham số của mặt đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): (left{eginmatrix x=2+t \ y=-3+2t \ z= 1+3t endmatrix ight.) theo lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) ((Oxy)) ;

b) ((Oyz)).

Bài giải:

a) gọi (left( phường ight)) là khía cạnh phẳng vuông góc (left( Oxy ight)) và đựng (d).

Khi kia (Delta = left( p ight) cap left( Oxy ight)) là hình chiếu của (d) lên (left( Oxy ight)).

Phương trình khía cạnh phẳng ((Oxy)) bao gồm dạng: (z = 0); vectơ (overrightarrowk)(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp con đường của ((Oxy)).

Ta có: (left{ eginarrayloverrightarrow n_left( p. ight) ot overrightarrow k \overrightarrow n_left( phường ight) ot overrightarrow u_d endarray ight.) (Rightarrow overrightarrown_(P)=left = (2 ; -1 ; 0)) là vectơ pháp con đường của ((P)).

Phương trình mặt phẳng ((P)) bao gồm dạng: (2(x – 2) – (y + 3) +0.(z – 1) = 0 ) (Leftrightarrow 2x – y – 7 = 0).

(Delta = left( phường ight) cap left( Oxy ight)) (Rightarrow Delta :left{eginmatrix z=0 & \ 2x-y-7=0.& endmatrix ight.)

Chọn (M_0left( 4;1;0 ight) in left( p ight) cap left( Oxy ight)).

(Delta = left( phường ight) cap left( Oxy ight)) ( Rightarrow left{ eginarrayloverrightarrow u_Delta ot overrightarrow n_left( phường ight) \overrightarrow u_Delta ot overrightarrow k endarray ight.) ( Rightarrow overrightarrow u_Delta = left< overrightarrow k ,overrightarrow n_left( p. ight) ight> = left( 1;2;0 ight)).

Đường trực tiếp (Delta ) đi qua (M_0left( 4;1;0 ight)) và nhận (overrightarrow u_Delta = left( 1;2;0 ight)) có tác dụng VTCP đề nghị (Delta :left{ eginarraylx = 4 + t\y = 1 + 2t\z = 0endarray ight.,t in mathbbR).

b) mặt phẳng ((Oyz)) có phương trình (x = 0).

Lấy (M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d) với (M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d), hình chiếu vuông góc của (M_1) trên ((Oyz)) là (M_1)’((0 ; -3 ; 1)), hình chiếu vuông góc của (M_2) bên trên ((Oyz)) là chính nó.

Đường thẳng (∆) qua (M_1’,M_2) đó là hình chiếu vuông góc của (d) lên ((Oyz)).

Ta có: (overrightarrowM’_1M_2(0 ; -4 ; -6)) // (overrightarrowv (0 ; 2 ; 3)).

Phương trình (M’_1M_2) có dạng: (left{eginmatrix x=0 & \ y=-3+2t&,t in R \ z=1+3t& endmatrix ight.).

3. Giải bài xích 3 trang 90 sgk Hình học tập 12

Xét vị trí kha khá của đường thẳng d với d’ trong các trường hòa hợp sau:

a) d: (left{eginmatrix x=-3+2t và \ y=-2+3t& \ z=6+4t& endmatrix ight.) và d’: (left{eginmatrix x=5+t’& \ y=-1-4t’& \ z=20+t’& endmatrix ight.) ;

b) d: (left{eginmatrix x=1+t& \ y=2+t& \ z=3-t& endmatrix ight.) cùng d’: (left{eginmatrix x=1+2t’& \ y=-1+2t’& \ z=2-2t’.& endmatrix ight.)

Bài giải:

a) ♦ bí quyết 1:

Đường thẳng (d) trải qua (M_1( -3 ; -2 ; 6)) và tất cả vectơ chỉ phương (overrightarrowu_1(2 ; 3 ; 4)).

Đường thẳng (d’) đi qua (M_2( 5 ; -1 ; 20)) và bao gồm vectơ chỉ phương (overrightarrowu_2(1 ; -4 ; 1)).

Ta phân biệt (overrightarrowu_1), (overrightarrowu_2) không cùng phương nên d cùng d’ chỉ rất có thể cắt nhau hoặc chéo cánh nhau.

Ta gồm (left< overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 ight> = left( ight) = left( 19;2; – 11 ight)) ; (overrightarrowM_1M_2 = (8 ; 1 ; 14) )

Mà (left .overrightarrowM_1M_2 = (19.8 + 2 – 11.14) = 0) nên (d) với (d’) cắt nhau.

♦ phương pháp 2:

Xét hệ phương trình:(left{eginmatrix -3+2t=5+t’ và (1)\ -2+3t=-1-4t’ & (2) \ 6+4t=20+t’& (3) endmatrix ight.)

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta bao gồm (2t = 6 ⇒ t = 3), vậy vào (1) gồm (t’ = -2), từ đó (d) với (d’) tất cả điểm thông thường duy nhất (M(3 ; 7 ; 18)). Vì thế d cùng d’ giảm nhau trên M.

b) Ta có : (overrightarrowu_1(1 ; 1 ; -1)) là vectơ chỉ phương của d và (overrightarrowu_2(2 ; 2 ; -2)) là vectơ chỉ phương của d’ .

Ta thấy (overrightarrowu_1) cùng (overrightarrowu_2) thuộc phương yêu cầu d cùng d’ chỉ hoàn toàn có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm (M(1 ; 2 ; 3) ∈d), núm tọa độ điểm (M) vào phương trình (d’) ta được: (left{ eginarrayl1 = 1 + 2t’\2 = – 1 + 2t’\3 = 2 – 2t’endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarraylt’ = 0\t’ = frac32\t’ = – frac12endarray ight.left( VN ight))

Vậy (M otin d’) nên (d) và (d’) tuy vậy song.

4. Giải bài bác 4 trang 90 sgk Hình học tập 12

Tìm (a) để hai đường thẳng tiếp sau đây cắt nhau: (d:left{eginmatrix x=1+at & \ y=t và \ z= -1+2t & endmatrix ight.) với (d’:left{eginmatrix x=1-t’ và \ y=2+2t’ & \ z= 3-t’. & endmatrix ight.)

Bài giải:

Xét hệ (left{eginmatrix 1+at=1-t’ &(1)\ t = 2+2t’ & (2)\ -1+2t=3-t’ và (3) endmatrix ight.)

Hai mặt đường thẳng dd‘ cắt nhau khi và chỉ còn khi hệ tất cả nghiệm duy nhất.

Giải (2) với (3) ta có (t = 2); (t’ = 0). Nỗ lực vào phương trình (1) ta có (1 + 2a = 1 ⇒ a =0).

Vậy (a = 0) thì d cùng d’ giảm nhau.

5. Giải bài 5 trang 90 sgk Hình học 12

Tìm số giao điểm của đường thẳng (d) với mặt phẳng ($alpha$) trong những trường hòa hợp sau:

a) d: $left{eginmatrixx=12+4t và & \y=9+3t và & \ z=1+t và & endmatrix ight.$ với ($alpha$): $3x+5y-z-2=0$

b) d: $left{eginmatrixx=1+t và & \y=2-t và & \ z=1+2t & & endmatrix ight.$ với ($alpha$): $x+3y+z+1=0$

c) d: $left{eginmatrixx=12+4t và & \y=1+2t & & \ z=2-3t và & endmatrix ight.$ cùng ($alpha$): $x+y+z-4=0$

Bài giải:

a) ♦Cách 1:

Ta có: $overrightarrowu_d=(4;3;1)$

$overrightarrown_(alpha)=(3;5;-1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=12+15-1=26 eq 0$

⇒ $d$ giảm $(alpha) $.

♦ bí quyết 2:

Gọi (M = d cap left( alpha ight) Rightarrow M in d Rightarrow Mleft( 12 + 4t;9 + 3t;1 + t ight)). Do (M in left( alpha ight) ) yêu cầu ta có:

(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) -2 = 0)

( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3).

Vậy (d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)).

b) Cách 1:

Ta có: $overrightarrowu_d=(1;-1;-2)$

$overrightarrown_(alpha)=(1;3;1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=1-3+2= 0$

⇒ $d//(alpha)$ hoặc $d subset (alpha) $

Mặt khác: $M(1;2;1) in d$ tuy vậy $M otin (alpha)$

⇒ $d//(alpha)$.

♦ giải pháp 2:

Gọi (M = d cap left( alpha ight) Rightarrow M in d Rightarrow Mleft( 1 + t;2 – t;1 + 2t ight)). Vị (M in left( alpha ight) ) phải ta có:

((1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0)

(⇔ 0.t +9= 0), phương trình vô nghiệm.

Chứng tỏ (d) cùng ((α)) không giảm nhau hay d // ((α)).

c) Cách 1:

Ta có: $overrightarrowu_d=(1;2;3)$

$overrightarrown_(alpha)=(1;1;1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=1+2-3= 0$

⇒ $d//(alpha)$ hoặc $d subset (alpha) $

Mặt khác: $M(1;2;1) in d$ cùng $M in (alpha)$

⇒ $d subset (alpha) $.

♦ biện pháp 2:

Gọi (M = d cap left( alpha ight) Rightarrow M in d Rightarrow Mleft( 1 + t;1 + 2t;2 – 3t ight)). Do (M in left( alpha ight) ) phải ta có:

((1 + t) + (1+ 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0)

(⇔ 0t + 0 = 0)

Phương trình này có vô số nghiệm, chứng minh (d ⊂ (α)) .

6. Giải bài xích 6 trang 90 sgk Hình học 12

Tính khoảng cách giữa mặt đường thẳng ∆ : $left{eginmatrixx=-3+2t & & \y=-1+3t và & \ z=-1+2t & & endmatrix ight.$ cùng mặt phẳng ($alpha$): $2x-2y+z+3=0$

Bài giải:

Đường thẳng ∆ qua $M(-3;-1;-1)$ tất cả $overrightarrowu_d=(2;3;2)$ và $overrightarrown_(alpha)=(2;-2;1)$

⇒ $overrightarrowu_d.overrightarrown_(alpha)=4-6+2=0$

⇒ $Delta //(alpha )$ hoặc $Delta subset (alpha )$

Mặt khác: $M(-3;-1;-1)in Delta $ nhưng $M otin (alpha )$

⇒ $Delta //(alpha )$.

⇒ $d(Delta ,(alpha ))=d(M,(alpha ))=frac 2.(-3)-2(-1)-1+3 ight sqrt4+4+1=frac23$

Vậy $d(Delta ,(alpha ))=frac23$.

7. Giải bài xích 7 trang 91 sgk Hình học 12

Cho điểm (A(1 ; 0 ; 0)) và con đường thẳng (∆): (left{eginmatrix x=2+t & \ y=1+2t & \ z=t & endmatrix ight.).

a) search tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (A) trê tuyến phố thẳng (∆).

b) search tọa độ điểm (A’) đối xứng với (A) qua mặt đường thẳng (∆).

Bài giải:

a) Đường thẳng (∆) gồm vectơ chỉ phương (overrightarrowu(1 ; 2 ; 1)). (H ∈ ∆) buộc phải (H(2 + t ; 1 + 2t ; t)).

Điểm (H ∈ ∆) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) khi và chỉ còn khi (overrightarrowAHot) (overrightarrowu).

Ta tất cả (overrightarrowAH(1+t ; 1 + 2t ; t)) nên:

(overrightarrowAH) ⊥ (overrightarrowu) ⇔ (overrightarrowu.overrightarrowAH) = 0.

⇔ (1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0)

⇔ (6t + 3 = 0 ⇔ t = -frac12).

⇔ (Hleft (frac32;0;-frac12 ight )).

b) gọi (A’) là điểm đối xứng của (A) qua (∆) và (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) thì (H) là trung điểm của (AA’).

( Rightarrow left{ eginarraylx_A’ = 2x_H – x_A = 2.frac32 – 1 = 2\y_A’ = 2y_H – y_A = 2.0 – 0 = 0\z_A’ = 2z_H – z_A = 2.left( – frac12 ight) – 0 = – 1endarray ight. Rightarrow A’left( 2;0; – 1 ight))

Vậy $A"(2;0;-1)$.

8. Giải bài bác 8 trang 91 sgk Hình học 12

Cho điểm (M(1 ; 4 ; 2)) cùng mặt phẳng ((α): x + y + z -1 = 0).

a) kiếm tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (M) trên mặt phẳng ((α)) ;

b) tìm tọa độ điểm (M’) đối xứng với (M) qua phương diện phẳng ((α)).

c) Tính khoảng cách từ điểm (M) cho mặt phẳng ((α)).

Bài giải:

a) Xét con đường thẳng (d) qua (M) và (d ⊥ (α)).

Vectơ (overrightarrown(1 ; 1 ; 1)) là vectơ pháp tuyến đường của ((α)) phải (overrightarrown) là vectơ chỉ phương của (d).

Phương trình tham số của đường thẳng (d) tất cả dạng: (left{eginmatrix x=1+t và \ y=4+t & \ z=2+t & endmatrix ight.).

Gọi (H = d cap left( p. ight)), (H in d Rightarrow Hleft( 1 + t;4 + t;2 + t ight)), do (H in alpha) cần ta có:

(1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 Leftrightarrow 3t + 6 = 0)

(Leftrightarrow t = – 2 Rightarrow Hleft( – 1;2;0 ight))

b) call (M"(x ; y ; z)) là điểm đối xứng của (M) qua mặt phẳng ((α)), thì hình chiếu vuông góc (H) của (M) xuống ((α)) chính là trung điểm của (MM’).

Ta có:

(left{ eginarraylx_M’ = 2x_H – x_M = 2.left( – 1 ight) – 1 = – 3\y_M’ = 2y_H – y_M = 2.2 – 4 = 0\z_M’ = 2z_H – z_M = 2.0 – 2 = – 2endarray ight. Rightarrow M’left( – 3;0; – 2 ight))

c) Tính khoảng cách từ điểm (M) cho mặt phẳng ((α))

♦ giải pháp 1:

(d(M,(alpha ))=fracsqrt1+1+1=frac6sqrt3=2sqrt3).

♦ bí quyết 2: khoảng cách từ M cho (α) chính là khoảng cách MH:

(d(M,(α) )= MH) = (sqrt2^2+2^2+2^2=2sqrt3).

9. Giải bài xích 9 trang 91 sgk Hình học tập 12

Cho hai tuyến đường thẳng: (d): (left{eginmatrix x=1-t \ y=2+2t \ z=3t endmatrix ight.) và (d’): (left{eginmatrix x=1+t’ \ y=3-2t’ \ z=1 endmatrix ight.). Chứng tỏ (d) và (d’) chéo nhau.

Bài giải:

Đường trực tiếp (d) qua điểm (M(1 ; 2 ; 0)) và bao gồm vectơ chỉ phương (overrightarrowu(-1 ; 2 ; 3)).

Đường thẳng (d’) qua điểm (M"(1 ; 3 ;1)) và bao gồm vectơ chỉ phương (overrightarrowu’(1 ; -2 ; 0)).

Dễ thấy (overrightarrow u ;overrightarrow u’ ) không cùng phương, vì vậy $d$ cùng $d’$ hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.

Xét (left =left (eginvmatrix 2 & 3\ -2&0 endvmatrix;eginvmatrix 3 &-1 \ 0&1 endvmatrix;eginvmatrix -1 và 2\ 1& -2 endvmatrix ight ) = (6 ; 3 ;0))

(overrightarrowMM’ = (0 ; 1 ; 1)).

Ta tất cả : (left .overrightarrowMM’= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0)

Vậy (d) cùng (d’) chéo nhau.

10. Giải bài bác 10 trang 91 sgk Hình học 12

Giải bài toán sau đây bằng cách thức tọa độ. Mang đến hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ gồm cạnh bởi 1.

Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).

Xem thêm: Tactics Là Gì ? Định Nghĩa, Ví Dụ, Giải Thích Tactics Là Gì

Bài giải:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ thế nào cho $A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0)$, $D(0 ; 1; 0), A"(0 ; 0 ; 1)$

*

⇒ $B"(1 ; 0 ; 1), D"(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)$.

⇒ Phương trình phương diện phẳng $(A’BD)$ gồm dạng: $x + y + z – 1 = 0$ (1)

⇒ $d(A,(A’BD ))=frac 0+0+0-1 ight sqrt1+1+1=frac1sqrt3$

Mặt khác: $mp(B’D’C) // mp(A’BD)$

⇒ Phương trình mặt phẳng (B’D’C) gồm dạng: $x+y+z+D=0$

Ta lại có: $mp(B’D’C)$ trải qua $C(1;1;0) ⇒ D=-2$

⇒ Phương trình khía cạnh phẳng $(B’D’C)$ gồm dạng: $x+y+z-2=0$

⇒ $d(A,(B’D’C ))=fracleft sqrt1+1+1=frac2sqrt3$

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc chúng ta làm bài giỏi cùng giải bài xích tập sgk toán lớp 12 cùng với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 trang 89 90 91 sgk Hình học 12!