Các việc về tổng với hiệu của nhì vectơ và phương pháp giải

Với những bài toán về tổng cùng hiệu của hai vectơ và cách giải Toán lớp 10 có đầy đủ phương pháp giải, lấy một ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài xích tập tổng cùng hiệu của nhị vectơ từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Bài tập tổng và hiệu của hai vectơ

*

A. Lí thuyết.

- Tổng của hai vectơ: mang lại hai vectơ

*
tùy ý. Rước một điểm A tùy ý, vẽ vectơ
*
Vectơ
*
được gọi là tổng của nhị vectơ
*
tức là:
*
.

- tính chất của phép cộng các vectơ: Với các vectơ

*
tùy ý ta có:

+)

*
(tính hóa học giao hoán);

+)

*
(tính chất kết hợp);

+)

*
(tính hóa học của vectơ – không)

- Vectơ đối: Vectơ bao gồm cùng độ dài cùng ngược hướng với vectơ

*
được gọi là vectơ đối của vectơ
*
. Kí hiệu là -
*
.

- Hiệu của nhì vectơ: đến hai vectơ

*
tùy ý. Ta có:
*
.

- Quy tắc tía điểm: với A, B, C tùy ý ta luôn luôn có:

*
và
*

- luật lệ hình bình hành: nếu như ABCD là hình bình hành thì

*
.

- nguyên tắc trung điểm: cùng với I là trung điểm của đoạn trực tiếp AB ⇔

*
.

- nguyên tắc trọng tâm: cùng với G là giữa trung tâm của tam giác ABC ⇔

*
.

- Chú ý: Vectơ đối của vectơ - ko là vectơ - không.

*

B. Các dạng bài.

Dạng 1: tra cứu tổng của hai hay các vectơ.

Phương pháp giải:

Dùng có mang tổng của nhì vectơ, quy tắc bố điểm về tổng, quy tắc hình bình hành với các đặc thù của tổng các vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Tính tổng

*
.

Giải:

*

=

*
(áp dụng đặc điểm giao hoán và kết hợp)

=

*
(áp dụng quy tắc bố điểm)

=

*
(áp dụng tính chất giao hoán)

=

*
(áp dụng quy tắc tía điểm)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD trọng điểm O. Tính tổng

*
với
*

*

Giải:

+) do ABCD là hình vuông vắn ⇒ AB // DC và AB = DC.

⇒

*

+) Áp dụng quy tắc ba điểm mang đến D, C, B ta có:

*

⇒

*

+) vì A, O, C cùng nằm bên trên một con đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông vắn ABCD) ⇒

*
⇒
*

+) Áp dụng quy tắc cha điểm mang lại O, A, D ta có:

*
⇒
*

Dạng 2: tìm vectơ đối với hiệu của nhì vectơ.

Phương pháp giải:

Dùng tư tưởng hiệu của nhị vectơ, search vectơ đối và áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tất cả tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ

*
.

*

Giải:

+) vì

*
= AB với
*
ngược phía với
*
.

+) vị AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông)

⇒

*
với
*
ngược phía với
*
.

+) vì chưng A, O, C là bố điểm thẳng hàng với OA = OC (do ABCD là hình vuông)

⇒

*
ngược hướng với
*
và
*
⇒
*
.

Vậy

*
là vectơ đối của vectơ
*
cùng
*
là vectơ đối của
*
.

Bài 2: đến hình chữ nhật ABCD. Nhì đường chéo AC và BD giảm nhau trên O. Tính các hiệu

*
.

*

Giải:

+) bởi

*
= AB và
*
ngược phía với
*
.

+) Ta có:

*
.

+) Áp dụng quy tắc cha điểm cho ba điểm A, D, B có:

*
.

+) Vì

*
= OD cùng
*
ngược hướng với
*
.

+) Ta có:

*
.

Dạng 3: chứng tỏ đẳng thức vectơ.

Phương pháp giải: sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trung điểm, trọng tâm, để biến hóa vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến hóa cả nhì vế và để được hai vế cân nhau hoặc ta cũng đều có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần minh chứng đó tương tự với một đẳng thức vectơ vẫn được thừa nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: mang đến sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Minh chứng đẳng thức sau:

*

Giải:

+) Áp dụng quy tắc tía điểm ta có:

*
.

⇒ VT =

*

⇒ VT =

*

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

*

⇒ VT =

*

⇒ VT =

*
(điều cần phải chứng minh)

Bài 2: mang lại tam giác ABC. Mang lại M, N, p lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức:

*
.

*

Giải:

Giả sử

*
là đúng.

⇒

*

⇒

*
(1)

Vì N là trung điểm của AC ⇒

*

Xét tam giác ABC tất cả MN là con đường trung bình và phường là trung điểm của BC .

⇒ MN =

*
BC = BP ⇒
*

(1) ⇔

*

⇔

*

⇔

*

⇔

*
(luôn đúng)

Đẳng thức

*
là đúng.

*

Dạng 4: Tính độ dài các vectơ tổng hoặc hiệu.

Phương pháp giải:

Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ bao gồm độ dài là 1 trong những cạnh của đa giác nhằm tính độ dài của vectơ.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: đến hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính

*
.

*

Giải:

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

*

⇒

*

+) vì ABCD là hình chữ nhật BC = AD = 2a.

+) Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

AC2 = AB2 + BC2

⇒ AC2 = (4a)2 + (2a)2 = 20a2

⇒ AC =

*

⇒

*
= AC =
*

Bài 2: cho tam giác ABC phần đa cạnh a. Tính

*
.

*

Giải:

+) vày

*
= AB và
*
ngược phía với
*
.

⇒

*

+) Ta có:

*

⇒

*

*

C. Bài xích tập trường đoản cú luyện.

Bài 1: đến hình chữ nhật ABCD. Chứng tỏ rằng

*
.

*

Đáp án:

*

Bài 2: mang đến lục giác phần lớn ABCDEF gồm tâm O. Tính tổng sau:

*

*

Đáp án:

*

Bài 3: đến 5 điểm tùy ý M, N, P, Q, E. Tính tổng

*
.

Đáp án:

*

Bài 4: đến hình thoi ABCD trung ương O. Tìm những vectơ đối của vectơ

*
.

*

Đáp án:

*

Bài 5: mang đến 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Tính hiệu

*
.

Đáp án:

*

*

Bài 6: mang lại tam giác ABC tất cả M, N, p. Lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính hiệu

*
.

Xem thêm: Tổng Hợp Bài Tập Định Khoản Kế Toán Có Đáp Án Có Lời Giải Đáp Án

*

Đáp án:

*

Bài 7: mang lại 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng tỏ đẳng thức sau:

*

Đáp án: VT =

*
= VP

Bài 8: đến hình bình hành ABCD trung tâm O. Chứng tỏ rằng:

*

*

Đáp án: VT =

*
VP =
*
nhưng
*
⇒ VT = VP

Bài 9: cho hình bình hành ABCD. O là điểm tùy ý nằm trong đường chéo cánh AC. Trường đoản cú O kẻ con đường thẳng tuy vậy song với những cạnh của hình bình hành, giảm AB tại M, giảm DC trên N, cắt BC tại F, giảm AD tại E. Triệu chứng minh:

*
.