Để tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường trực tiếp $Delta $ ta cần xác định được hình chiếu $H$ của điểm $M$ trê tuyến phố thẳng $Delta $, rồi coi $MH$ là mặt đường cao của một tam giác như thế nào đó nhằm tính.

Bạn đang xem: Bài tập về khoảng cách lớp 11

Điểm $H$ hay được dựng theo hai phương pháp sau:

Cách 1: vào $mpleft( M,Delta ight)$ vẽ $MH ot Delta Rightarrow dleft( M,Delta ight) = MH$

Cách 2: Dựng phương diện phẳng $left( alpha ight)$ qua $M$ và vuông góc với $Delta $ tại $H$.

Khi kia $dleft( M,Delta ight) = MH$.


Hai bí quyết sau hay được dùng làm tính $MH$

CT1: $Delta MAB$ vuông tại $M$ và bao gồm đường cao $MH$ thì $dfrac1MH^2 = dfrac1MA^2 + dfrac1MB^2$.

CT2: $MH$ là mặt đường cao của $Delta MAB$ thì $MH = dfrac2S_MABAB$.


2. Tính khoảng cách từ một điểm đến một phương diện phẳng

Phương pháp:

Để tính được khoảng từ điểm $M$đến phương diện phẳng $left( alpha ight)$ thì điều đặc trưng nhất là ta phải khẳng định được hình chiếu của điểm $M$ trên $left( alpha ight)$.

TH1:


*

- Dựng (AK ot Delta Rightarrow Delta ot left( SAK ight) Rightarrow left( alpha ight) ot left( SAK ight)) cùng (left( alpha ight) cap left( SAK ight) = SK).

- Dựng (AH ot SK Rightarrow AH ot left( alpha ight) Rightarrow dleft( A,left( alpha ight) ight) = AH)

TH2:


*

- kiếm tìm điểm (H in left( alpha ight)) sao để cho (AH//left( alpha ight) Rightarrow dleft( A,left( alpha ight) ight) = dleft( H,left( alpha ight) ight))

TH3:


*

- khi đó: (dfracdleft( A,left( alpha ight) ight)dleft( H,left( alpha ight) ight) = dfracIAIH Rightarrow m dleft( A,left( alpha ight) ight) = dfracIAIH.dleft( H,left( alpha ight) ight) m )

Một kết quả có tương đối nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến lựa chọn mặt phẳng đối với tứ diện vuông (tương bốn như hệ thức lượng vào tam giác vuông) là:


Nếu tứ diện $OABC$ gồm $OA,OB,OC$ song một vuông góc và có đường cao $OH$ thì $dfrac1OH^2 = dfrac1OA^2 + dfrac1OB^2 + dfrac1OC^2$.


3. Cách thức tính khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng

Phương pháp:

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau:

+) phương thức 1: Dựng đoạn vuông góc chung $MN$ của $a$ và $b$, khi đó $dleft( a,b ight) = MN$.


Một số trường thích hợp hay gặp mặt khi dựng đoạn vuông góc tầm thường của hai tuyến đường thẳng chéo nhau:

Trường phù hợp 1: $Delta $ với $Delta "$ vừa chéo cánh nhau vừa vuông góc với nhau

- cách 1: chọn mặt phẳng $(alpha )$ chứa $Delta "$ cùng vuông góc cùng với $Delta $ trên $I$.

- bước 2: Trong khía cạnh phẳng $(alpha )$ kẻ $IJ ot Delta "$.

Khi kia $IJ$ là đoạn vuông góc phổ biến và $d(Delta ,Delta ") = IJ$.


*

Trường thích hợp 2: $Delta $ với $Delta "$ chéo cánh nhau mà lại không vuông góc cùng với nhau

- cách 1: lựa chọn mặt phẳng $(alpha )$ cất $Delta "$ và song song cùng với $Delta $.

- bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Delta $ xuống $(alpha )$ bằng cách lấy điểm $M in Delta $ dựng đoạn $MN ot left( alpha ight)$, thời điểm đó $d$ là mặt đường thẳng trải qua $N$ và tuy vậy song cùng với $Delta $.

- cách 3: gọi $H = d cap Delta "$, dựng $HK//MN$

Khi kia $HK$ là đoạn vuông góc phổ biến và $d(Delta ,Delta ") = HK = MN$.


*

Hoặc

- bước 1: chọn mặt phẳng $(alpha ) ot Delta $ tại $I$.

- cách 2: tìm hình chiếu $d$ của $Delta "$ xuống khía cạnh phẳng $(alpha )$.

- cách 3: Trong khía cạnh phẳng $(alpha )$, dựng $IJ ot d$, tự $J$ dựng mặt đường thẳng tuy vậy song cùng với $Delta $ cắt $Delta "$ tại $H$, từ bỏ $H$ dựng $HM//IJ$.

Khi kia $HM$ là đoạn vuông góc tầm thường và $d(Delta ,Delta ") = HM = IJ$.

Xem thêm: Bài 76 Trang 33 Sgk Toán 8 Tập 1, Làm Tính Nhân:, Bài 76 Trang 33 Sgk Toán 8 Tập 1


+) phương pháp 2: chọn mặt phẳng $(alpha )$ đựng đường thẳng $Delta $ và tuy vậy song với $Delta "$. Lúc đó $d(Delta ,Delta ") = d(Delta ",(alpha ))$


+) cách thức 3: Dựng nhì mặt phẳng tuy vậy song và lần lượt chứa hai tuyến phố thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm.


+) cách thức 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

a) $MN$ là đoạn vuông góc thông thường của $AB$ với $CD$ khi và chỉ còn khi $left{ eginarrayloverrightarrow AM = xoverrightarrow AB \overrightarrow CN = yoverrightarrow CD \overrightarrow MN .overrightarrow AB = 0\overrightarrow MN .overrightarrow CD = 0endarray ight.$

b) nếu như trong $left( alpha ight)$ có hai vec tơ không cùng phương $overrightarrow u_1 ,overrightarrow u_2 $ thì $OH = dleft( O,left( alpha ight) ight) Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow OH ot overrightarrow u_1 \overrightarrow OH ot overrightarrow u_2 \H in left( alpha ight)endarray ight. Leftrightarrow left{ eginarrayloverrightarrow OH .overrightarrow u_1 = 0\overrightarrow OH .overrightarrow u_2 = 0\H in left( alpha ight)endarray ight.$