Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách chứng tỏ và bài xích tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì ? Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm công thức gì, hệ quả gì với cách chứng minh từng hệ quả ra làm sao cùng những dạng vấn đề thường găp là hầu hết phần kỹ năng quan trọng, trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ đáp án qua bài viết sau đây. Bạn mày mò nhé !

I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI




Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức bunhiacôpxki

1. Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: công thức, cách minh chứng và bài tập vận dụng

Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên gọi đúng là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz, đây là một bất đẳng thức do bố nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụng vào các nghành nghề toán học. Ở nước ta, nhằm cho tương xứng với lịch trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên công ty Toán học bạn Nga Bunhiacopxki.


2. Bí quyết của bất đẳng thức Bunhiacopxki

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

*

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi 

*

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki đến 2 bộ số:

Với hai bộ số 

*
 và 
*
 ta có:

*

Dấu “=” xẩy ra khi còn chỉ khi 

*

Với quy cầu nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3, …, n) bởi 0 thì tương ứng bằng 0

*
*

Thì:

  

*

Đạt được khi:

  

*

Hệ trái 2:Nếu:

  

*

Thì:


  

*


đạt được khi:

  

*




Xem thêm: Top 8 Đề Thi Lớp 6 Giữa Học Kì 2 Toán 6 Năm Học 2021, Top 8 Đề Thi Giữa Học Kì 2 Môn Toán 6 Năm 2021

  

*


Dấu “=” sảy ra khi và chỉ còn khi:

  

*

3. Các dạng phát biểu của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki bao hàm các dạng sau đây:

a. Dạng cơ bản

*
*
*
*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

*

*

*
 (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a = b = c

Bài 2: Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức 

*

Lời giải:

*

Điều kiện: 

*

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*

A max = 2 khi 

*
(thỏa mãn)

Vậy max A = 2 khi còn chỉ khi x = 3

Bài 3: Chứng minh rằng giả dụ a, b, c là độ dài bố cạnh của một tam giác có phường là nửa chu vi thì 

*

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

*

*
(điều đề nghị chứng minh)

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi 

*
 hay tam giác là tam giác đều

b. Bài rèn luyện thêm

Bài 1: Tìm giá trị mập nhất của các biểu thức sau:

a, 

*

b, 

*

Bài 2: Cho a, b, c là những số thực dương tùy ý. Minh chứng rằng:

*

(gợi ý: đổi khác vế trái thành 

*
 rồi áp dung bất đẳng thức Bunhiacopxki)

Bài 3: Cho a, b, c là những số thực dương, . Minh chứng rằng:

*

Bài 4: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Hội chứng minh:

*

Bài 5: Cho x > 0 với y > 0 thỏa mãn nhu cầu x2 + y2 ≤ x + y. Chứng minh:

x + 3y ≤ 2 + 

*