Bạn ao ước giải được những bài toán tương quan đến giải phương trình, nhân chia những đa thức, thay đổi biểu thức tại cấp cho học thcs và trung học phổ thông thì các bạn cần nắm rõ được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ như bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu của nhị bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng nhì lập phương với hiệu hai lập phương. Để tìm hiểu thêm về những hằng đẳng thức này, họ cùng mày mò qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Các dạng bài tập vận dụng hằng đẳng thức


Công thức 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

*

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng sẽ bằng bình phương của số đầu tiên cộng nhì lần tích của số trước tiên và số lắp thêm hai, kế tiếp cộng cùng với bình phương của số máy hai.

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ví dụ:

a) Tính ( a + 2)2.

b) Viết biểu thức x2+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Lơi giải:

a) Ta có: ( a + 2)2= a2+ 2.a.2 + 22 = a2 + 4a + 4.

b) Ta bao gồm x2+ 4x + 4 = x2+ 2.x.2 + 22 = ( x + 2 )2.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu sẽ bằng bình phương của số đầu tiên trừ đi hai lần tích của số trước tiên và số sản phẩm hai, tiếp nối cộng cùng với bình phương của số đồ vật hai.

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ví dụ: Tính (3x -y)2

Ta có: (3x -y)2 = (3x)2 – 2.3x.y + y2 = 9x2 – 6xy + y2 

3. Hiệu của nhị bình phương

Hiệu hai bình phương nhị số bởi tổng hai số đó, nhân với hiệu nhị số đó.

a2 – b2 = (a-b)(a+b)

Ví dụ: Tính (x – 2)(x +2)

Ta có: (x – 2)(x +2) = x2 – 22 = x2 – 4

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng hai số bởi lập phương của số đồ vật nhất, cộng với tía lần tích bình phương số đầu tiên nhân số sản phẩm hai, cộng với tía lần tích số trước tiên nhân cùng với bình phương số trang bị hai, rồi cùng với lập phương của số thứ hai.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ví dụ: Tính: (2x2+3y)3

(2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu hai số bằng lập phương của số sản phẩm nhất, trừ đi cha lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số lắp thêm hai, cùng với tía lần tích số đầu tiên nhân cùng với bình phương số thứ hai, tiếp đến trừ đi lập phương của số thiết bị hai.

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Ví dụ: Tính (x – 3)3

(x – 3)3 = x3 – 3.x2.3 + 3.x.32 – 33 = x3 – 9x2 + 27x – 27

6. Tổng nhị lập phương

 Tổng của hai lập phương hai số bằng tổng của hai số đó, nhân với bình phương thiếu thốn của hiệu hai số đó.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64

x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu nhì lập phương

Hiệu của nhì lập phương của nhị số bởi hiệu nhì số đó nhân với bình phương thiếu hụt của tổng của nhì số đó.

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Ví dụ:

a, Tính 53– 23.b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) dưới dạng hiệu nhị lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 53– 23= ( 5 – 2 )( 52 + 5.2 + 22 ) = 3.39 = 117.b) Ta tất cả : ( x – 2y )( x2+ 2xy + 4y2) = x3 – (2y)3 = x3 – 8y3.

Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, 7 hằng đẳng thức lưu niệm trên thì họ còn bao gồm hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường áp dụng trong khi đổi khác lượng giác chứng tỏ đẳng thức, bất đẳng thức,…

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab(a – b)2 = (a + b)2 – 4aba2 + b2 = (a + b)2 – 2ab(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc(a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc(a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac – 2bc

Hệ trái với hằng đẳng thức bậc 3

a3 + b3 = (a + b)3 – 3a2b – 3ab2a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)a3 – b3 = (a – b)3 + 3a2b – 3ab2a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a -b)(b – c)(c – a)(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b +c)(c + a)

Hệ trái tổng quát

an + bn = (a + b)(an-1 – an-2b + an-3b2 – an-4b3 +…+ a2bn-3 – a.bn-2 + bn-1)an – bn =(a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 +…+ a2bn-3 + abn-2 + bn-1)

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc

Các dạng bài tập 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của những biểu thức.

Tính quý hiếm của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 trên x = -1

Lời giải.

Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2 = (-3)2 = 9

⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9

Dạng 2: chứng tỏ biểu thức A cơ mà không nhờ vào biến.

Ví dụ: minh chứng biểu thức sau không dựa vào vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

Lời giải.

Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không nhờ vào vào biến x.

Dạng 3: Áp dụng nhằm tìm giá bán trị nhỏ dại nhất cùng giá trị lớn số 1 của biểu thức.

Ví dụ: Tính giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

Vì (x – 1)2 ≥ 0 với tất cả x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 xuất xắc A ≥ 4

Vậy giá bán trị nhỏ dại nhất của A = 4, lốt “=” xẩy ra khi : x – 1 = 0 giỏi x = 1

⇒ tóm lại GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

Dạng 4: chứng tỏ đẳng thức bởi nhau.

Ví dụ: Tính giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

Lời giải:

Ta gồm : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

Vì (x – 2)2 ≥ 0 với tất cả x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với đa số x

⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

⇔ A ≤ 4 dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 giỏi x = 2

⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

Dạng 5: minh chứng bất đẳng thức

Ví dụ: chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Lời giải:

Đối với dạng toán này bọn chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A

Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ Kết luận, vậy :(a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

Dạng 6: Phân tích nhiều thức thành nhân tử.

Xem thêm: Nên Học Nghề Gì Cho Nữ Không Bằng Đại Học, Top 10 Nghề Phù Hợp Cho Nữ Không Bằng Cấp

Ví dụ 1: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

Lời giải:

Ta có : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

Ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

= x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

Dạng 7: Tìm quý hiếm của x

Ví dụ:Tìm quý giá củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

Lời giải.

x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

Hy vọng cùng với những kỹ năng và kiến thức về 7 hằng đẳng thức kỷ niệm và những dạng bài tập thường chạm chán mà shop chúng tôi vừa chia sẻ có thể giúp bạn áp dụng vào bài bác tập nhé