Phương pháp nguyên hàm từng phần được biết đến là một trong trong những cách thức để giải những bài toán nguyên hàm nâng cao. Đây cũng là một cách thức khá phức hợp nên trong quá trình áp dụng, những em rất dễ dàng nhầm lẫn. Trong bài viết này, Team hijadobravoda.com Education để giúp các em hiểu đúng đắn về phương pháp này cũng như các dạng nguyên hàm thường gặp và phương thức giải hiệu quả.

Bạn đang xem: Cách giải nguyên hàm


*

Nguyên hàm từng phần là phương pháp phổ phát triển thành để tra cứu tích phân biến động của một hàm số phức tạp. Hàm số này thường xuyên sẽ cất đồng thời hai trong các 4 hàm số sau: hàm số lượng giác, hàm số logarit, hàm số nhiều thức giỏi hàm số mũ.

Công thức tính nguyên hàm từng phần

Với hàm số u = u(x) và v = v(x) gồm đạo hàm và tiếp tục trên tập K thì ta bao gồm công thức tổng thể như sau:


Khi sử dụng phương thức này những em đề xuất lưu ý:

Thứ từ ưu tiên đặt u là “nhất log, nhị đa, tam lượng, tứ mũ”. Phần còn lại đặt là dv.Với đông đảo nguyên hàm tất cả chứa lượng giác với mũ thì những em hoàn toàn có thể đặt u và dv dựa theo vật dụng tự lượng giác và mũ hoặc ngược lại. Mặc dù nhiên, những em cần sử dụng gấp đôi tích phân từng phần cùng thống nhất theo đúng thứ tự.Số lần thực hiện tích phân từng phần sẽ phụ thuộc vào bậc của hàm logarit với đa thức. Vắt thể:

eginaligned&footnotesizecirc extBiểu thức nguyên hàm log_a^nf(x), ln^nf(x) extthì đề xuất tính n lần tích phân\&footnotesize exttừng phần.\&footnotesizecirc extNếu biểu thức gồm chứa nhiều thức bậc n cơ mà không chứa hàm logarit thì\&footnotesize ext các em cũng đề xuất tính tích phân từng phần n lần.endaligned

Các dạng nguyên hàm từng phần thường xuyên gặp

Dạng 1: tra cứu nguyên hàm của hàm số logarit

Tính nguyên hàm của hàm số logarit:


egincasesu=ln(ax+b)\dv=f(x)dxendcasesimplies egincasesdu=fracaax+bdx\v=int f(x)dxendcases

egincasesu=lnx\dv=xdxendcasesimplies egincasesdu=fracdxx\v=fracx^22endcases

egincasesu=f(x)\dv=e^ax+bdxendcasesimplies egincasesdu=f"(x)dx\v=frac1ae^ax+bdxendcases

Dạng 3: tìm kiếm nguyên hàm của của hàm số lượng giác cùng hàm nhiều thức

Tính nguyên hàm của hàm số lượng giác:


eginaligned&egincasesu=f(x)\dv=sin(ax+b)dxendcasesimplies egincasesdu=f"(x)dx\v=-frac1acos(ax+b)endcases\& extHoặc\&egincasesu=f(x)\dv=cos(ax+b)dxendcasesimplies egincasesdu=f"(x)dx\v=frac1asin(ax+b)endcases\endaligned

eginaligned&int f(x)sin(ax+b)dx=uv-int vdu\& extHoặc\&int f(x)cos(ax+b)dx=uv-int vdu\endaligned

Dạng 4: tra cứu nguyên hàm của hàm con số giác với hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm con số giác cùng hàm số mũ:


egincasesu=sin(cx+d)\dv=e^ax+bdxendcases extHoặc egincasesu=cos(cx+d)\dv=e^ax+bdxendcases
Bước 2: nhờ vào công thức bao quát uv – ∫vdu để tính nguyên hàm.Các em cũng cần lưu ý, ngơi nghỉ dạng tính nguyên hàm của hàm con số giác và hàm số mũ này thì các em yêu cầu lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Xung quanh ra, ở cách 1, những em cũng hoàn toàn có thể đặt theo phong cách sau:


egincasesu=e^ax+b\dv=sin(cx+d)dxendcases extHoặc egincasesu=e^ax+b\dv=cos(cx+d)dxendcases

eginalignat*2&J=e^xcosx+int sinx.e^xdx\&=e^xcosx+I\&small extLúc này biểu thức nguyên hàm đang trở thành:\&=e^xsinx-J\&=e^xsinx-(e^xcosx+I)\&Leftrightarrow 2I=e^xsinx-e^xcosx\& extVậy I=frac12(e^xsinx-e^xcosx)+Cendalignat*

Bài tập nguyên hàm từng phần có đáp án

Dưới đây là một số bài tập nguyên hàm từng phần bao gồm lời giải cho các em học sinh tham khảo:


eginaligned& small ext1)Tìm nguyên hàm của những hàm số sau: \& small exta. f(x) = int xsinxdx\& small extb. f(x) = int xe^3xdx\& small extc. f(x) = int x^2cosxdx\& small extLời giải: \& small exta. \& small extĐặt egincasesu = x\sinxdx = dvendcasesiffegincasesdu = dx\v = -cosxendcases\& small implies f(x) = int xsinxdx = -xcosx + int cosxdx = -xcosx + sinx + C\& small extb. \& small extĐặt egincasesu = x\e^3xdx = dvendcasesiffegincasesdu = dx\v = frac13e^3xendcases\& small implies f(x) = int xe^3xdx = frac13xe^3x - frac13 int e^3xdx = frac13xe^3x - frac19 int e^3xd(3x)\& small = frac13xe^3x - frac19e^3x + C\& small extc. \& small extĐặt egincasesu = x^2\coxdx = dvendcasesiffegincasesdu = 2xdx\v = sinxendcases\& small implies f(x) = int x^2cosxdx = x^2sinx - int 2xsinxdx = x^2sinx - 2int xsinxdx\& small extĐặt egincasesu = x\sinxdx = dvendcasesiffegincasesdu = dx\v = -cosxendcases\& small implies f(x) = x^2sinx + 2xcosx - 2int cosxdx = x^2sinx + 2xcosx - 2sinx + Cendaligned
eginaligned&2) extTìm nguyên hàm của hàm số I=sinx.e^xdx\&Đặtspace egincases &u=sinx\&dv=e^xdx endcases\ &Rightarrow egincases &du=cosxdx\&v=e^x endcases\& extKhi đó nguyên hàm I trở thành\&I=e^x.sinx-int cosxe^xdx\&=e^xsinx-J\&J=int cosxe^xdx\&=e^xsinx-J\&Đặtspace egincases &u=cosx\ &dv=e^xdx endcases\ &Rightarrow egincases&du=-sinxdx\&v=e^x endcases\&J=e^xcosx+int sinxe^xdx\&=e^xcosx+I\&I=e^xsinx-J\&=e^xsinx-e^xcosx\&Vậyspace I=frac12(e^xsinx-e^xcosx)+Cendaligned
eginaligned3) extTìm nguyên hàm &D=int x^2lnxdx\&Đặt:\&egincases u=lnx\x^2dx=dv endcases leftrightarrow egincases du=fracdxx\v=fracx^33 endcases\& ightarrow I= int x^2lnxdx=fracx^33ln-int fracx^33.fracdxx= fracx^33-fracx9+C endaligned
eginaligned&4)int(2-x).sinxdx\&Đặt egincasesu=2-x\dv=sinxdx endcases&Rightarrow &egincases &du=-dx\&v=-cosx endcases\& extTheo phương pháp tích phân từng phần\& int(2-x).sinxdx\&=(2-x).(-cosx)-int cosxdx\&=(x-2).cosx-sinx+Cendaligned
eginaligned&5) intfrac1(sinx+cosx)^2dx\&=int frac1^2dx\&= int frac12cos^2(x-fracpi4)dx\&=frac12tan(x-fracpi4)+Cendaligned
eginaligned&6) extTìm nguyên hàm của hàm số sau: int frac1(1+x)(2-x)dx\&=intfrac1+x+2-x3(1+x)(2-x)dx\&=int frac1+x3(1+x)(2-x)dx+intfrac2-x3(1+x)(2-x)dx\&=frac13int frac12-xdx+frac13intfrac11+xdx\&=frac-13.ln|2-x|+frac13ln|1+x|+C\&=frac13ln|frac1+x2-x|+Cendaligned
eginaligned& 7) extTìm nguyên hàm int frac1sqrt1+x+sqrtxdx\&=int frac(x+1)-xsqrtx+1sqrtxdx\&=int frac(sqrtx+1-sqrtx)(sqrtx+1+sqrtx)sqrtx+1+sqrtxdx\&=int(sqrtx+1-sqrtx)dx\&=frac23(x+1)^frac32-frac23.x^frac32+C\&=frac23(x+1)sqrtx+1-frac23xsqrtx+Cendaligned
eginaligned&8) extTìm nguyên hàm của int frace^3x+1e^x+1dx\&=int frac(e^x+1)(e^2x-e^x+1)e^x+1dx\&=int(e^2x-e^x+1)dx\&=int(e^2x-e^x+1)dx\&=frac12e^2x-e^x+x+Cendaligned
eginaligned& 9) extCho nguyên hàm int xcos^2xdx=mx^2+xsin2x+pcos2x+Cspace exttrong đó m,n,p in R.space \& extTính quý giá của P=m+n+p\& extTa gồm : I=int xfrac1+cos2x2dx=frac12int xdx+frac12int xcos2xdx\&Đặt\&egincasesu=x\dv=cos2xdx endcases Rightarrow egincases du=dx\v=fracsin2x2 endcases\&xcos2xdx=fracxsin2x2-int fracsin2xdx2=fracxsin2x2+fraccos2x4+C\&Rightarrow I=frac14x^2+frac14xsin2x+frac18cos2x+CRightarrow m+n+p=frac58endaligned
eginaligned&10)space Chospace F(x)=x^2+1 extlà một nguyên hàm của hàm số fracf(x)x. extTìm nguyên hàm của f"(x)lnx\&Đặt egincases u=lnx\dv=f"(x)dx endcases Leftrightarrow egincases du=fracdxx\v=f(x) endcases\&Suy space ra int f"(x).lnxdx=lnx.f(x)-intfracf(x)xdx\&Taspace cóspace F"(x)=fracf(x)x Leftrightarrow2x=fracf(x)xLeftrightarrow f(x)=2x^2\&Dospace đóint f"(x).lnxdx=2x^2.lnx-x^2-1+C=x^2(2lnx-10)+Cendaligned

Học livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn bứt phá điểm số 2022 – 2023 trên hijadobravoda.com Education

hijadobravoda.com Education là nền tảng học livestream trực đường Toán – Lý – Hóa – Văn đáng tin tưởng và chất lượng hàng đầu Việt Nam dành cho học sinh từ lớp 8 tới trường 12. Với câu chữ chương trình đào tạo và huấn luyện bám sát chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, hijadobravoda.com Education để giúp đỡ các em mang lại căn bản, bứt phá điểm số và nâng cao thành tích học tập.


các Dạng Tích Phân Hàm Ẩn Và phương pháp Giải đưa ra Tiết

Tại hijadobravoda.com, những em vẫn được giảng dạy bởi các thầy cô thuộc đứng top 1% giáo viên dạy tốt toàn quốc. Các thầy cô đều có học vị tự Thạc Sĩ trở lên với trên 10 năm kinh nghiệm huấn luyện và giảng dạy và có rất nhiều thành tích xuất sắc trong giáo dục. Bằng phương thức dạy sáng tạo, sát gũi, những thầy cô sẽ giúp các em tiếp thu kỹ năng một cách hối hả và dễ dàng dàng.

hijadobravoda.com Education còn tồn tại đội ngũ nỗ lực vấn học tập tập chăm môn luôn luôn theo sát quy trình học tập của những em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học tập và cá thể hóa lộ trình học tập của mình.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu cùng căn cơ công nghệ, từng lớp học tập của hijadobravoda.com Education luôn bảo đảm đường truyền bất biến chống giật/lag buổi tối đa với unique hình hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ gốc rễ học livestream trực tuyến đường mô rộp lớp học tập offline, các em hoàn toàn có thể tương tác thẳng với giáo viên thuận tiện như khi tham gia học tại trường.

Khi phát triển thành học viên trên hijadobravoda.com Education, các em còn nhận ra các sổ tay Toán – Lý – Hóa “siêu xịn” tổng hợp toàn bộ công thức và câu chữ môn học được biên soạn chi tiết, chi tiết và chỉn chu giúp các em học tập với ghi nhớ con kiến thức tiện lợi hơn.

Xem thêm: Đề Thi Và Đáp Án Đề Thi Thpt Quốc Gia Môn Toán 2017 Môn Toán

hijadobravoda.com Education cam kết đầu ra 7+ hoặc ít nhất tăng 3 điểm cho học viên. Còn nếu không đạt điểm số như cam kết, hijadobravoda.com sẽ hoàn trả những em 100% học tập phí. Các em hãy nhanh tay đăng ký kết học livestream trực đường Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – lớp 12 năm học tập 2022 – 2023 tại hijadobravoda.com Education ngay từ bây giờ để thừa hưởng mức tiền học phí siêu ưu đãi lên tới 39% sút từ 699K chỉ từ 399K.

Hy vọng những thông tin mà Team hijadobravoda.com Education đã chia sẻ ở trên hoàn toàn có thể giúp những em làm rõ hơn về phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cạnh bên đó, những em cũng làm cho quen được với những dạng toán thường gặp và cách giải nhanh, đúng mực nhất. Các em hãy chú ý học bài xích và nhớ rằng ôn tập để vận dụng giải những bài tập khi bắt buộc nhé. Chúc các em học tốt!