Nhằm giúp các em tất cả thêm tư liệu tham khảo, chuẩn bị thật xuất sắc trong học tập tập. hijadobravoda.com đã biên soạnBồi chăm sóc HSG chăm đề Đồng dư Toán 8sẽ giúp các em dễ dạng ôn tập lại kỹ năng và kiến thức đã học. Mời các em cùng tham khảo.

Bạn đang xem: Chuyên đề đồng dư


Nếu hai số nguyên a và b tất cả cùng số dư trong phép phân chia cho một số trong những tự nhiên m ( e) 0 thì ta nói a đồng dư cùng với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a (equiv) b (mod m)

Ví dụ:7 (equiv) 10 (mod 3) , 12 (equiv) 22 (mod 10)

+ Chú ý: a (equiv) b (mod m) (Leftrightarrow ) a – b (vdots ) m


- đặc thù phản xạ: a (equiv) a (mod m)

- đặc điểm đỗi xứng: a (equiv) b (mod m) (Rightarrow ) b (equiv) a (mod m)

- đặc điểm bắc cầu: a (equiv) b (mod m), b (equiv) c (mod m) thì a (equiv) c (mod m)

- cộng , trừ từng vế: (left{ eginarrayl ma equiv m b (mod m)\ mc equiv m d (mod m)endarray ight. Rightarrow ma pm m c equiv m b pm m d (mod m))

Hệ quả:

a (equiv) b (mod m) (Rightarrow ) a + c (equiv) b + c (mod m)a + b (equiv) c (mod m) (Rightarrow ) a (equiv) c - b (mod m)a (equiv) b (mod m) (Rightarrow ) a + km (equiv) b (mod m)

- Nhân từng vế : (left{ eginarrayl ma equiv m b (mod m)\ mc equiv m d (mod m)endarray ight. Rightarrow mac equiv m bd (mod m))

Hệ quả:

a (equiv) b (mod m) (Rightarrow) ac (equiv) bc (mod m) (c (in ) Z)a (equiv) b (mod m) (Rightarrow ) an (equiv) bn (mod m)

- có thể nhân (chia) nhì vế và môđun của một đồng dư thức với một vài nguyên dương

a (equiv)b (mod m) (Leftrightarrow ) ac (equiv) bc (mod mc)

Chẳng hạn: 11 (equiv) 3 (mod 4) (Leftrightarrow ) 22 (equiv) 6 (mod 8)

- (left{ eginarrayl mac equiv m bc (mod m)\ m(c, m) = 1 endarray ight. Rightarrow ma equiv m b (mod m))

Chẳng hạn : (left{ eginarrayl m16 equiv m 2 (mod 7)\ m(2, 7) = 1 endarray ight. Rightarrow 8 m equiv m 1 (mod 7))


II. Những ví dụ


Ví dụ 1:

Tìm số dư khi chia 9294 mang lại 15

Giải

Ta thấy 92 (equiv) 2 (mod 15) => 9294 (equiv) 294 (mod 15) (1)

Lại có 24(equiv) 1 (mod 15) =>(24)23. 22 (equiv) 4 (mod 15) giỏi 294 (equiv) 4 (mod 15) (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra 9294 (equiv) 4 (mod 15) có nghĩa là 9294 phân chia 15 thì dư 4

Ví dụ 2:

Chứng minh: trong những số gồm dạng 2n – 4(n (in ) N), bao gồm vô số số chia hết mang đến 5

Giải

Thật vậy:

Từ 24 (equiv) 1 (mod 5) =>24k (equiv) 1 (mod 5) (1)

Lại gồm 22 (equiv) 4 (mod 5) (2)

Nhân (1) cùng với (2), vế theo vế ta có: 24k + 2 (equiv) 4 (mod 5) =>24k + 2 - 4 (equiv) 0 (mod 5)

Hay 24k + 2 - 4 phân chia hết đến 5 với tất cả k = 0, 1, 2, ... Tốt ta được vô vàn số dạng 2n – 4

(n (in ) N) phân chia hết mang lại 5

Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường xem xét a (equiv)(pm ) 1 (mod m)

a (equiv)1 (mod m) => an (equiv) 1 (mod m)

a(equiv) -1 (mod m) => an (equiv) (-1)n (mod m)

Ví dụ 3: minh chứng rằng

a) năm ngoái – 1 chia hết mang lại 11

b) 230 + 330 đưa ra hết đến 13

c) 555222 + 222555 phân tách hết cho 7

Giải

a) 25 (equiv) - 1 (mod 11) (1); 10 (equiv) - 1 (mod 11) =>105 (equiv) - 1 (mod 11) (2)

Từ (1) với (2) suy ra 25. 105 (equiv) 1 (mod 11) => 205 (equiv) 1 (mod 11) => 205 – 1 (equiv) 0 (mod 11)

b) 26 (equiv) - 1 (mod 13) => 230 (equiv) - 1 (mod 13) (3)

33 (equiv) 1 (mod 13) => 330 (equiv) 1 (mod 13) (4)

Từ (3) với (4) suy ra 230 + 330 (equiv) - 1 + 1 (mod 13) (Rightarrow ) 230 + 330 (equiv) 0 (mod 13)

Vậy: 230 + 330 chi hết mang đến 13

c) 555 (equiv) 2 (mod 7) => 555222 (equiv) 2222 (mod 7) (5)

23 (equiv) 1 (mod 7) => (23)74 (equiv) 1 (mod 7) => 555222 (equiv) 1 (mod 7) (6)

222 (equiv) - 2 (mod 7) => 222555 (equiv) (-2)555 (mod 7)

Lại bao gồm (-2)3 (equiv) - 1 (mod 7) => <(-2)3>185 (equiv) - 1 (mod 7) => 222555 (equiv) - 1 (mod 7)

Ta suy ra 555222 + 222555 (equiv) 1 - 1 (mod 7) tuyệt 555222 + 222555 phân tách hết mang lại 7

Ví dụ 4: chứng minh rằng số ( ext2^ ext2^ ext4n + 1) + 7 chia hết mang lại 11 với đa số số tự nhiên và thoải mái n

Thật vậy:Ta có: 25 (equiv)- 1 (mod 11) => 210 (equiv) 1 (mod 11)

Xét số dư khi phân chia 24n + 1 mang lại 10. Ta có: 24 (equiv) 1 (mod 5) => 24n (equiv) 1 (mod 5)

=> 2.24n (equiv) 2 (mod 10) => 24n + 1 (equiv) 2 (mod 10) => 24n + 1 = 10 k + 2

Nên ( ext2^ ext2^ ext4n + 1) + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7

= BS 11 + 11 phân tách hết cho 11

Ví dụ 5: tìm số dư vào phép chia: (19971998+ 19981999+19992000)10chia mang đến 111

Giải:

Ta có: 1998 ≡0 (mod 111)

=> 1997 ≡-1 (mod 111) và 1999 ≡1 (mod 111)

Nên ta có: 19971998+ 19981999+19992000 ≡2 (mod 111)

(19971998+ 19981999+19992000)10 ≡210(mod 111)

Mặt khác ta có: 210= 1024 ≡25 (mod 111)

Vậy (19971998+ 19981999+19992000)10chia mang lại 111 tất cả số dư là 25


Bài 1: CMR:

a) 228 – 1 chia hết mang lại 29

b)Trong các số có dạng2n – 3 gồm vô số số phân chia hết cho 13

Bài 2: tìm số dư khi phân tách A = 2011 + 2212 + 19962009 mang lại 7.

Bài 3: bệnh minh: 3100– 3 phân tách hết đến 13

Bài 4: chứng tỏ 62n + 1+ 5n + 2chia hết mang đến 31 với mọi n là số từ bỏ nhiên

Bài 5: search 2 chữ số tận cùng của 20092010

Bài 6: tra cứu số dư khi chia A = 19442005cho 7

Bài 7: chứng minh rằng các số A = 61000- 1 cùng B = 61001+ 1 phần đa là bội số của 7

Bài 8: search số dư trong phép chia 15325- 1 mang đến 9

Bài 9: chứng minh rằng A = 7.52n+ 12.6nchia hết đến 19

Bài 10: chúng ta Thắng học viên lớp 6A vẫn viết một số có nhị chữ số nhưng tổng những chữ số của chính nó là 14. Bạn Thắng lấy số đó phân chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3.

a)Chứng minh rằng các bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia.

b)Nếu phép chia đầu tiên cho 8 là đúng thì phép phân chia thứ hai mang đến 12 bao gồm số dư là bao nhiêu ? Hãy search số bị chia.

Xem thêm: Bài Văn Khấn Thổ Công Thổ Địa Ngắn Gọn Súc Tích, Văn Khấn Thổ Công Ngày Tết

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các emhọc sinhôn tập xuất sắc và đạt các kết quả cao trong học tập.