Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài này ta chỉ xét rất trị của hàm hai biến đổi z = f(x,y).

Bạn đang xem: Điều kiện không có cực trị

mang lại hàm f(x,y) xác định trong miền D cùng điểm

*

1. Định nghĩa:

Ta nói

*
là vấn đề cực tè (hoặc rất đại), giả dụ tồn trên
*
_lân cận của
*
sao cho:

*

(

*
)

Nếu hàm số f đạt cực to hay rất tiểu (địa phương) tại

*
thì ta nói hàm f đạt rất trị (địa phương) trên
*

Nhận xét:

– Hàm số

*
đạt rất tiểu (cực đại) tại
*
nếu:
*

– nếu

*
chuyển đổi dấu khi
*
đổi khác thì hàm số ko đạt rất trị trên
*

Ví dụ: các bạn hãy xét xem hàm số

*
có đạt cực trị trên M(0;0) giỏi không?

Xét

*
là một trong những điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

*

Với

*
0 , \Deltay > 0 : \Deltaf(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

*

Vậy

*
biến đổi dấu bắt buộc hàm f ko đạt rất trị tại M0.

2. Quy tắc tìm rất trị ko điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

*
đạt rất trị (địa phương) trên
*
cùng nếu f có các đạo hàm riêng rẽ tại
*
thì:

*

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại

*
(trường hòa hợp hàm f đạt rất tiểu tại M0 trọn vẹn tương từ ).

Khi đó, xét hàm

*
ta có:
*
, cùng với x trong 1 khoảng làm sao đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:

*

Mặt khác:

*
. Vậy:
*

Tương tự, trường hợp xét hàm

*
ta đã có:
*

Điểm

*
nhưng tại kia
*
, được call là điểm dừng.

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

*
có các đạo hàm riêng biệt đến cấp 2 liên tục trong ở bên cạnh của điểm dừng
*

Đặt:

*

Khi đó:

a. Nếu

*
0) thì f đạt rất tiểu trên M0.

b. Trường hợp

*

c. Ví như

*
0 " class="latex" /> thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu như

*
ta chưa tóm lại và rất cần được xét gắng thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Nhân Vật Mị Trước Khi Về Làm Dâu, Ôn Thi Thpt Quốc Gia

Ta thừa nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, phụ thuộc vào việc triển khai Taylor – Maclaurin mang đến hàm số 2 biến. Khi đó, ta đã xét dấu mang đến vi phân cung cấp 2 trong triển khai Taylor. Các chúng ta có thể xem cụ thể chứng minh và phương pháp Taylor trong giáo trình Toán học cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ đọc nhất, chúng ta cũng có thể xem vào cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).