Với quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập môn Toán lớp 11 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập. Mời các bạn đón xem:
1. Lý thuyết
a) Đạo hàm của một hàm số lượng giác
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản | Đạo hàm các hàm hợp u = u(x) |
(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 | |
xα"=α.xα−1 1x"=−1x2; x≠0x"=12x; x>0 | uα"=α.u".uα−1 1u"=−u"u2u"=u"2u |
b) Các quy tắc tính đạo hàm
Cho các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:
1. (u + v)’ = u’ + v’
2. (u – v)’ = u’ – v’
3. (u.v)’ = u’.v + v’.u
4.uv"=u"v−v"uv2 v=v x≠0
Chú ý:
a) (k.v)’ = k.v’ (k: hằng số)
b)1v"=−v"v2 v=v(x)≠0
Mở rộng:
u1±u2±...±un"=u1"±u2"±...±un"
u.v.w"=u".v.w+u.v".w+u.v.
Bạn đang xem: Giải bài tập đạo hàm lớp 11
c) Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y = f(u(x)) = f(u) với u = u(x). Khi đó:yx"=yu". ux"
2. Phương pháp giải
- Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.
- Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x0 sau:
a) y = 7 + x – x2, với x0 = 1
b) y = 3x2 – 4x + 9, với x0 = 1
Lời giải
a) y = 7 + x – x2
Ta có: y" = 1 – 2x
Vậy y"(1) = 1 – 2. 1 = –1.
b) y = 3x2 – 4x + 9
Ta có: y" = 6x – 4
Vậy y"(1) = 6.1 – 4 = 2.
Ví dụ 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = –x3 + 3x + 1
b) y = (2x – 3)(x5 – 2x)
c)y=x2x
d)y=2x+11−3x
e)y=2x2−4x+1x−3
Lời giải
a) y’ = (–x3 + 3x + 1)’ = –3x2 + 3
b) y = (2x – 3)(x5 – 2x).
y’ = <(2x – 3)(x5 – 2x)>’
= (2x – 3)’.(x5 – 2x) + (x5 – 2x)’.(2x – 3)
= 2(x5 – 2x) + (5x4 – 2)(2x – 3)
= 12x5 – 15x4 – 8x + 6.
c)y=x2x
y"=x2x"=x2".x+x".x2
=2x.x+12x.x2=2xx+12xx=5xx2.
d) y=2x+11−3x
⇒y"=2x+11−3x"=2x+1"1−3x−1−3x"2x+11−3x2
=21−3x+32x+11−3x2=51−3x2.
e) y=2x2−4x+1x−3
⇒y"=2x2−4x+1"x−3−x−3"2x2−4x+1x−32
=4x−4x−3−2x2−4x+1x−32=2x2−12x+11x−32
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x7 + x)2
b) y = (1 – 2x2)3
c)y=2x+1x−13
d) y = (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3)
e)y=1+2x−x2
f)y=1+x1−x
Lời giải
a) y = (x7 + x)2. Sử dụng công thức uα"=α.uα−1.u"(với u = x7 + x)
y" = 2(x7 + x).(x7 + x)’ = 2(x7 + x)(7x6 + 1).
b) y = (1 – 2x2)3. Sử dụng công thức uα"với u = 1 – 2x2
y" = 3(1 – 2x2)2.(1 – 2x2)’ = 3(1 – 2x2)2(– 4x) = – 12x(1 – 2x2)2.
c)y=2x+1x−13
Bước đầu tiên sử dụng uα", vớiu=2x+1x−1
y"=3.2x+1x−12.2x+1x−1"=3.2x+1x−12.−3x−12=−92x+12x−14.
d) y = (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3)
y’ = (1 + 2x)’(2 + 3x2)(3 – 4x3) + (1 + 2x)(2 + 3x2)’(3 – 4x3) + (1 + 2x)(2 + 3x2)(3 – 4x3)’
y’ = 2(2 + 3x2)(3 – 4x3) + (1 + 2x)(6x)(3 – 4x3) + (1 + 2x)(2 + 3x2)(– 12x2)
y’ = 12 – 16x3 + 18x2 – 24x5 + 18x – 24x4 + 36x2 – 48x5 – 72x5 – 36x4 – 48x3 – 12x2
y’ = – 144x5 – 60x4 – 64x3 + 42x2 + 18x + 12.
e) y=1+2x−x2. Sử dụng công thức u"với u = 1 + 2x – x2
y"=1+2x−x2"21+2x−x2=2−2x21+2x−x2=1−x1+2x−x2.
f) y=1+x1−x. Sử dụng uv"được:
y"=1+x"1−x−1−x"1+x1−x2
=1−x−1−x"21−x.1+x1−x
=21−x+1+x21−x.1−x=3−x21−x1−x.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi f(x) = 2x2 + 1. Giá trị f’(– 1) bằng:
A. 2
B. 6
C. – 4
D. 3
Câu 2. Cho hàm số f(x) = – 2x2 + 3x xác định trên R. Khi đó f"(x) bằng:
A. – 4x – 3
B. –4x + 3
C. 4x + 3
D. 4x – 3
Câu 3. Đạo hàm của hàm số y = (1 – x3)5 là:
A. y" = 5(1 – x3)4
B. y" = –15x2(1 – x3)4
C. y" = –3(1 – x3)4
D. y" = –5x2(1 – x3)4
Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x2 – x + 1)5 là:
A. 4(x2 – x + 1)4(2x – 1)
B. 5(x2 – x + 1)4
C. 5(x2 – x + 1)4(2x – 1)
D. (x2 – x + 1)4(2x – 1)
Câu 5. Đạo hàm của hàm số y=−2x5+4xbằng biểu thức nào dưới đây?
A. −10x4+1x
B. −10x4+4x
C. −10x4+2x
D.−10x4−1x
Câu 6. Hàm số y=2x+1x−1có đạo hàm là:
A. y’ = 2
B. y"=−1x−12
C. y"=−3x−12
D.y"=1x−12
Câu 7. Đạo hàm của hàm số y=x2+x+1bằng biểu thức có dạng ax+b2x2+x+1. Khi đó a – b bằng:
A. a – b = 2
B. a – b = –1
C. a – b = 1
D. a – b = –2
Câu 8. Cho hàm số y=x2+xx−2đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:
A. y"(1) = –4
B. y"(1) = –5
C. y"(1) = –3
D. y"(1) = –2
Câu 9. Cho hàm số y=x4−x2.Tính y"(0) bằng:
A. y"0=12
B. y"0=13
C. y"(0) = 1
D. y"(0) = 2
Câu 10. Hàm số y=x−221−xcó đạo hàm là:
A. y"=−x2+2x1−x2.
B. y"=x2−2x1−x2.
C. y’ = -2(x – 2)
D.y"=x2+2x1−x2
Câu 11. Cho hàm số f(x) xác định trên D=0;+∞cho bởi fx=xxcó đạo hàm là:
A. f"x=12x
B. f"x=32x
C. f"x=12xx
D.f"x=x+x2
Câu 12. Hàm số fx=x−1x2 xác định trên D=0;+∞. Đạo hàm của f(x)là:
A. f"x=x+1x−2
B.f"x=x−1x2
C. f"x=x−1x
D. f"x=1−1x2
Câu 13. Đạo hàm của hàm số y=x2+x+3x2+x−1bằng biểu thức có dạng ax+bx2+x−12.Khi đó a + b bằng:
A. a + b = –10
B. a + b = 5
C. a + b = –10
D. a + b = –12
Câu 14.
Xem thêm: Bài Tập Về Mẫu Câu Ai Làm Gì Lớp 3 2022, Top 9 Luyện Từ Và Câu Ai Làm Gì Lớp 3 2022
Đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1)(5 – 3x2) bằng biểu thức có dạng ax3 + bx. Khi đó T=abbằng:
A. – 1
B. –2
C. 3
D. – 3
Câu 15. Đạo hàm của hàm số y = x2(2x + 1)(5x – 3) bằng biểu thức có dạng ax3 + bx2 + cx. Khi đó a + b + c bằng: