Giải Bài Tập Ôn Tập Chương 3 Đại Số 11, Giải Bài Tập Toán 11 Ôn Tập Chương 3: Dãy Số

Bài 1 (trang 107 SGK Đại số 11):

Khi nào thì cấp cho số cộng là hàng số tăng, dãy số giảm?

Lời giải:

Ta có: un+1 – un = q => (un) là dãy số tăng ví như công sai q > 0, dãy số sút nếu công không đúng q 1 0

b.q n = u1.qn-1 ∀n > 1, q > 0, u1 un 1

b.Nếu q n = u1.qn-1 = (-1)n .|u1|.|qn-1| ∀ n > 1

un > 0 ví như n chẵn, và un n), (vn) tất cả công sai lần lượt là d1, d2 cùng các số hạng bởi nhau, nghĩa là:

u1, u2, …, un (1) cùng v1, v2,…, vn (2)

Xét hàng số (an) cùng với an = un + vn , n ∈ N*

a1 = u1 + v1

a2 = u2 + v2 = u1 + d1 + v1 + d2 = (u1 + v1 ) + (d1 + d2)

an = un + vn = u1 + (n – 1)d1 + v1 + ( n – 1)d2

= (u1 + v1) + (n – 1)(d1 + d2)

Điều đó cho thấy thêm dãy số cơ mà mỗi số hạng là tổng các số hạng khớp ứng của hai cấp cho số cùng (1) và (2) cũng là 1 trong những cấp số cùng với công sai bởi tổng những công sai của hai cấp cho số cùng kia.

Bạn đang xem: Giải bài tập ôn tập chương 3 đại số 11

Ví dụ: 1, 4, 7, 10, 13, 16 công sai: d1 = 3

20, 18, 16, 14, 12, 10 công sai: d2 = – 2

Dãy tổng các số hạng khớp ứng là: 21, 22, 23, 24, 25, 26 là cung cấp số cộng tất cả công sai

d = d1 + d2 = 3 + (-2) = 1.

Bài 4 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho hai cung cấp số nhân có cùng những số hạng. Tích các số hạng khớp ứng của chúng gồm lập thành cấp cho số nhân không? vày sao? cho một ví dụ minh họa.

Lời giải:

Giả sử bao gồm hai cấp cho số nhân (un), (vn) với công bội tương xứng q1 và q2.

Xét hàng số (an) cùng với an = un.vn

Ta có: un = u1.q1n-1 vn = v1.q2n-1

an = un.vn = (u1v1).(q1q2)n-1

vậy hàng số (an) là cung cấp số nhân cùng với công bội q = q1q2.

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với đa số n ∈ N*, ta có:

a. 13n – 1 phân chia hết đến 6

b. 3n3 + 15 phân tách hết mang đến 9

Lời giải:

a. Xét un = 13n – 1

ta có: với n = 1 thì u1 = 13 – 1 = 12 phân tách hết 6

giả sử: uk = 13k – 1 chia hết mang đến 6

Ta có: uk+1 = 13k+1 – 1 = 13k+1 + 13k – 13k – 1

= 13k(13 – 1) + 13k – 1

= 12.13k + uk

=> uk+1 là tổng hai số hạng, mỗi số hạng phân chia hết mang đến 6.

Vậy uk+1 chia hết số 6

Như vậy, từng số hạng của hàng số (un) hồ hết chia hết cho 6 ∀n ∈ N*

b. 3n3 + 15n phân tách hết mang đến 9

Đặt un = 3n3 + 15n

+ cùng với n = 1 => u1 = 18 phân tách hết 9

+ mang sử cùng với n = k ≥ 1 ta có:

uk = (3k2 + 15k) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

+ Ta chứng minh: uk+1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

uk+1 = 3(k + 1)3 + 15(k + 1 ) = 3(k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k3 + 15k) + 9k2 + 9k + 18 = (3k3 + 15) + 9(k2 + k + 2)

= uk + 9(k2 + k + 2)

Theo mang thiết uk chia hết 9, không chỉ có thế 9(k2 + k + 2) chia hết 9 k ≥ 1

Do đó uk+1 cũng chia hết mang lại 9.

Vậy un = 3n3 + 15n chia hết mang lại 9 ∀n ∈ ∈ N*

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un) biết u1 = 2, un+ 1 = 2un – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh un = 2n-1 + 1 bằng cách thức quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u1 = 2; u2 = 2u1 – 1 = 3; u3 = 2u2 – 1 = 5;

u4 = 2u3 – 1 = 9 u5 = 2u4 – 1 = 17

b. Hội chứng minh: un = 2n-1 + 1 bằng phương thức quy nạp:

Với n = 1 => u1 = 21-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (un) đúng cùng với n = k ≥ 1

Tức là uk = 2k-1 + 1 (1)

Ta phải chứng minh phương trình đã mang lại đúng cùng với n = k + 1 nghĩa là:

uk+1 = 2k+1-1 + 1 = 2k + 1

Theo trả thiết: uk+1 =2uk-1

(1) uk+1 = 2(2k-1 + 1) – 1 = 2.2k.2-1 + 2 – 1 = 2k + 1

Biểu thức đã mang lại đúng với n = k + 1, vậy nó đúng cùng với n ∈ N*

Bài 7 (trang 107 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, bớt và bị chặn của các dãy số (un), biết:

Lời giải:

vì là hàng tăng đề xuất u1 = 2 2 3 n ∀n ∈ N*

=> un > 2 => (un) bị chặn dưới.

Vì un = n + 1 > n ∀n ∈ N*

=> (un) không trở nên chặn trên. Vậy un không bị chặn.

=> u1 > 0; u2 > 0; u3 > 0; u4 > 0

Và u1 > u2; u2 > u3; u3 > u4; …

Vậy dãy số (un ) không tăng, không bớt => (un) không đơn điệu.

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của những cấp số cùng (un), biết:

Lời giải:

Bài 8 (trang 107 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của những cấp số cùng (un), biết:

Lời giải:

Bài 10 (trang 108 SGK Đại số 11): Tứ giác ABCD bao gồm số đo của những góc lập thành một cung cấp số cùng theo sản phẩm tự A, B, C, D. Biết rằng góc C vội 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Lời giải:

Kí hiệu: ∠ : góc

Các góc của tứ giác là ∠A, ∠B, ∠C, ∠D ( ∠A > 0) tạo ra thành cấp cho số cộng:

Vậy ∠B=∠A + d, ∠C=∠A + 2d, ∠D= ∠A+3d.

Theo mang thiết ta có:∠ C =5∠A => ∠A + 2 chiều = 5∠A 2 chiều = 4∠A

Mặt không giống ∠A + B ∠ + C ∠ + ∠D =360o

=> ∠A + ∠A +d + ∠A +2d + ∠A +3d = 360o

4∠A + 12∠A = 360o 16∠A = 360o ∠A= 22o30′, d=45o

Vậy ∠B = 67o30′; ∠C = 112o30’; ∠D = 157o30′

Bài 11 (trang 108 SGK Đại số 11): Biết rằng cha x, y, z lập thành một cấp cho số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tra cứu công bội của cấp cho số nhân.

Lời giải:

Cấp số nhân (un) có công bội q có thể viết dưới dạng:

u1,u1q,u1q2,…,u1qn-1

vì x, y, z lập thành cung cấp số nhân nên: y = x.q, z = x.q2 (1)

Mặt khác x, 2y, 3z lập thành cấp số cộng bắt buộc (x+3z)/2= 2y (2)

Bài 12 (trang 108 SGK Đại số 11): Người ta thiết kế một chiếc tháp gồm 11 tầng. Diện tích mặt phẳng trên của từng tầng bởi nửa diện tích s của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt phẳng trên của tầng một bằng nữa diện tích s đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12.288m2. Tính diện tích s mặt bên trên cùng.

Lời giải:

Gọi S là diện tích dưới đáy của tháp

S = 12.288 m2

Gọi S1, S2, S3…S11 là diện tích mặt phẳng của từng tầng.

Diện tích của tầng một bởi nửa diện tích của lòng tháp

Vậy diện tích mặt trên cùng đó là diện tích tầng tháp đồ vật 11 nên:

Bài 13 (trang 108 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng nếu các số a2, b2, c2 lập thành một cấp số cùng (a, b, c ≠ 0) thì các số 1/(b+c), 1/(c+a), 1/(a+b) cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Đẳng thức (1) thỏa lúc a2, b2, c2 là cấp cho số cộng.

Bài 14 (trang 108 SGK Đại số 11): Cho hàng số (un), biết un = 3n. Hãy chọn phương án đúng:

a. Số hạng un+1 bằng:

A. 3n + 1

B. 3n + 3.

C. 3n.3

D. 3(n+1)

b. Số hạng u2n bằng:

A. 2.3n

B. 9n

C. 3n + 3

D. 6n

c. Số hạng un-1 bằng:

A. 3n – 1

B. 3n/3

C. 3n – 3

D. 3n – 1

d. Số hạng u2n-1 bằng:

A. 32.3n – 1

B. 3n.3n-1

C. 32n – 1

D. 32(n-1)

Lời giải:

a. Un+1 = 3n+1 = 3n.3.

Chọn giải đáp C

b. Un = 3n = (32)n = 9n.

Chọn câu trả lời B.

c. Un-1 = n-1 = 3n.3-1 = 3n/3 .

Chọn lời giải B.

d. U2n-1 = 32n-1 = 32n.3-1 = 3n.3n-1.

Chọn câu trả lời B

Bài 15 (trang 108 SGK Đại số 11): Hãy cho thấy thêm dãy số (un) như thế nào dưới đây là dãy số tăng, ví như biết phương pháp số hạng bao quát un của nó là: