Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: \(a\sin x + b\cos x = c\,\,\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\)

- Chia cả hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), khi đó phương trình có dạng:

\(\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

- Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \end{array} \right.\) và sử dụng công thức \(\sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \sin \left( {x + \alpha } \right)\) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 37

Hoặc đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sin \alpha \\\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \cos \alpha \end{array} \right.\) và sử dụng công thức \(\sin x\sin \alpha + \cos x\cos \alpha = \cos \left( {x - \alpha } \right)\) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \,\,\cos x - \sqrt 3 \sin x = \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin x = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos {\pi \over 3} - \sin x\sin {\pi \over 3} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \cos {\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left< \matrix{ x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left< \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \) hoặc \(x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).


LG b

\(3sin3x - 4cos3x = 5\);

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \,\,3\sin 3x - 4\cos 3x = 5 \cr & \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1 \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ \sin \alpha = {3 \over 5} \hfill \cr \cos \alpha = {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\), phương trình trở thành

\(\eqalign{ & \sin 3x\sin \alpha - \cos 3x\cos \alpha = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x\cos \alpha - \sin 3x\sin \alpha = - 1\cr &\Leftrightarrow \cos \left( {3x + \alpha } \right) = - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x + \alpha = \pi + k2\pi \cr & \Leftrightarrow 3x = \pi - \alpha + k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {{\pi - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {{\pi - \alpha } \over 3} + {{k2\pi } \over 3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\) (Với \(\sin \alpha = {3 \over 5};\,\,\cos \alpha = {4 \over 5}\)).

Chú ý:

Có thể đặt cách khác như sau:

Đặt \(\left\{ \matrix{ \cos \beta = {3 \over 5} \hfill \cr \sin \beta = {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\), phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\sin 3x\cos \beta - \cos 3x\sin \beta = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \beta } \right) = 1\\ \Leftrightarrow 3x - \beta = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} + \beta + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + \frac{\beta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array}\)


LG c

\(2sinx + 2cosx - \sqrt2 = 0\);

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & 2\sin x + 2\cos x - \sqrt 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\sin x + 2\cos x = \sqrt 2 \cr &\Leftrightarrow \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\sin x + \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \sin x\sin {\pi \over 4} + \cos x\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow \left< \matrix{ x - {\pi \over 4} = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr x - {\pi \over 4} = - {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left< \matrix{ x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \) hoặc \(x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right).\)


LG d

\(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\).

Xem thêm: B) Hiện Nay Có Một Số Học Sinh Học Qua Loa Đối Phó Không Học Thật Sự

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{ & \,\,5\cos 2x + 12\sin 2x - 13 = 0 \cr & \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1 \cr} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ {5 \over {13}} = \cos \alpha \hfill \cr {{12} \over {13}} = \sin \alpha \hfill \cr} \right.\) , khi đó phương trình trở thành

\(\eqalign{ & \,\,\,\cos 2x\cos \alpha + \sin 2x\sin \alpha = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \alpha } \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow 2x - \alpha = k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\alpha \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {\alpha \over 2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\) với \(\sin \alpha = {{12} \over {13}};\,\,\cos \alpha = {5 \over {13}}\).