Tóm tắt kim chỉ nan và Giải bài bác 1,2,3 trang 82; Bài 4,5 trang 83 SGK đại số cùng giải tích 11: cách thức quy hấp thụ toán học. Đây là bài xích đầu tiên Chương 3 Đại số với giải tích lớp 11: Dãy số – cấp cho số cộng cấp số nhân.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 11 trang 82

A. Bắt tắt lý thuyết

1. Để chứng tỏ một mệnh đề P(n) là đúng với tất cả n ∈ N*, ta thường dùng cách thức quy nạp toán học, được tiến hành theo hai cách như sau:

Bước 1 (bước cơ sở): đánh giá mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

Bước 2 ( cách quy nạp): mang thiết mệnh đề P(n) đúng với một số trong những tự nhiên bất kỳ n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là mang thiết quy nạp) và chứng tỏ rằng nó cũng giống với n = k + 1.

Khi đó, theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, ta tóm lại mệnh đề P(n) đùng với tất cả n ∈ N* 

2. Trong trường thích hợp phải chứng minh một mệnh đề P(n) lf đúng vơi hầu hết số tự nhiên và thoải mái n ≥ phường (p là số trường đoản cú nhiên) thì:

– Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề P(n) đúng cùng với n = p.

Ở bước 2, ta mang thiết mệnh đề P(n) đúng với một số trong những tự nhiên bất kể n = k, (k ≥ p) và chứng tỏ rằng nó cũng như với n = k + 1.

3. Phép test với một số trong những hữu hạn số tự nhiên và thoải mái tuy không phải là chứng tỏ nhưng được cho phép ta dự kiến được kết quả. Hiệu quả này chỉ nên giá thuyết và để minh chứng ta có thể dùng phương thức quy hấp thụ toán học.

Một số việc thường gặp

– chứng tỏ các mệnh đề toán học tương quan đến lập luận lôgic.

– minh chứng các đẳng thức, bất đẳng thức.

– Dự đoán hiệu quả và bệnh minh.

B. Giải bài bác tập sách giáo khoa bài cách thức quy hấp thụ toán học tập – Sách giáo khoa đại số giải tích lớp 11 trang 82,83

Bài 1. Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có đẳng thức:

*

a) cùng với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế yêu cầu bằng(3+1) / 2 = 2

Vậy VT = VP hệ thức a) đúng cùng với n = 1.

Đặt vế trái bởi Sn.

Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta phải chứng tỏ rằng a) cũng như với n = k + 1, nghĩa là đề nghị chứng minh

*

Thật vậy, từ đưa thiết quy nạp, ta có: 

*
*

(điều nên chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, hệ thức a) đúng với mọi n ∈ N*

b) với n = 1, vế trái bằng 1/2, vế phải bằng 1/2, cho nên hệ thức đúng.

Đặt vế trái bằng Sn.

Giả sử hệ thức b) đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là

*

Ta phải minh chứng

*

Thật vậy, từ mang thiết quy nạp, ta có:

*

(điều buộc phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy hấp thụ toán học, hệ thức b) đúng với tất cả n ∈ N*

c) cùng với n = 1, vế trái bởi 1, vế phải bằng 1(1+1)(2+1) / 6 = 1 buộc phải hệ thức c) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng Sn.


Giả sử hệ thức c) đúng cùng với n = k ≥ 1, tức là

*

Ta bắt buộc chứng minh

*

Thật vậy, từ đưa thiết quy nạp ta có:

*
(đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với tất cả n ∈ N*

Bài 2. Chứng minh rằng cùng với n ε N* ta luôn luôn có:

a) n3 + 3n2 + 5n chia hết đến 3;

b) 4n + 15n – 1 phân tách hết mang lại 9;

c) n3 + 11n phân tách hết đến 6.

Đáp án: a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n

Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết mang đến 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) ⋮ 3

Ta phải chứng minh rằng Sk+1 ⋮ 3

Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9

hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)

Theo đưa thiết quy hấp thụ thì Sk⋮3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3) ⋮3 nên Sk+1 ⋮ 3.

Vậy (n3 + 3n2 + 5n) ⋮ 3 với mọi n ∈ N* .

b) Đặt Sn = 4n + 15n – 1


Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 ⋮9

Giả sử cùng với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k – 1 phân tách hết đến 9.

Ta cần chứng minh Sk+1 ⋮ 9.

Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1

= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy hấp thụ thì Sk ⋮ 9 đề nghị 4S1 ⋮ 9, mặt khác 9(5k – 2) ⋮ 9, nên Sk+1 ⋮ 9

Vậy (4n + 15n – 1) ⋮ 9 với mọi n ∈ N*

c) Đặt Sn = n3 + 11n

Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 ⋮ 6

Giả sử cùng với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k ⋮ 6

Ta buộc phải chứng minh Sk+1 ⋮ 6

Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)

THeo trả thiết quy nạp thì Sk ⋮ 6, phương diện khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4) ⋮ 6, do đó Sk+1 ⋮ 6

Vậy n3 + 11n phân tách hết đến 6 cùng với mọi n ∈ N*

Bài 3 Chứng minh rằng với đa số số tự nhiên và thoải mái n ≥ 2, ta có những bất đẳng thức:

a) 3n > 3n + 1; b) 2n + 1 > 2n + 3

Đáp án: a) hay thấy bất đẳng thức đúng cùng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 2, tức là

3k > 3k + 1 (1)

Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:

3k + 1 > 9k + 3 ⇔ 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.

Vì 6k – 1 > 0 nên

3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.

tức là bất đẳng thức đúng cùng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 với tất cả số tự nhiên n ≥ 2.

b) cùng với n = 2 thì vế trái bởi 8, vế phải bởi 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2

Giả sử bất đẳng thức đúng cùng với n = k ≥ 2, tức là

2k + 1 > 2k + 3 (2)

Ta phải chứng minh nó cũng giống với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh

2k + 2 > 2(k + 1) + 3 2k + 2 > 2k + 5

Nhân nhị vế của bất đẳng thức (2) cùng với 2, ta được:

2k + 2 > 4k + 6 ⇔ 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.

Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với tất cả số tự nhiên và thoải mái n ≥ 2.

Bài 4. Cho tổng  với n ∈ N* 

a) Tính S1, S2, S3.

b) dự đoán công thức tính tổng Sn và minh chứng bằng quy nạp.

Giải: a) Ta có:

b) từ bỏ câu a) ta dự đoán Sn=n/(n+1) (1), cùng với mọi n ∈ N* .

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương thức quy nạp

Khi n = 1, vế trái là S1 =1/2, vế phải bởi 1/(1+1)=1/2. Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng cùng với n = ≥ 1, có nghĩa là Ta phải minh chứng nó cũng đúng khi n = k + 1, tức là phải chứng tỏ Ta bao gồm

tức là đẳng thức (1) cũng giống với n = k + 1.

Vậy đẳng thức (1) đang được chứng minh.

Bài 5 trang 83. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là

Giải: Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi n ∈ N* , n ≥ 4.

Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có hai tuyến phố chéo.

Mặt khác vậy n = 4 vào công thức, ta gồm số đường chéo cánh của tứ giác theo cách làm là: 4(4-3)/2 = 2

Vậy khẳng định là đúng cùng với n= 4.

Giả sử khẳng định là đúng với n = k ≥ 4, có nghĩa là đa giác lồi k cạnh có số đường chéo cánh là k(k – 3)/2


 Ta phải chứng minh khẳng định đúng cùng với n = k + 1. Nghĩa là phải minh chứng đa giác lồi k + 1cạnh bao gồm số đường chéo cánh là Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Nối A1 và Ak, ta được đa giác k cạnh A1A2…Ak gồm k(k-3)/2 đường chéo cánh (giả thiết quy nạp). Nối Ak+1 với những đỉnh A2, A3, …, Ak-1, ta nhận thêm k -2 con đường chéo, dường như A1Ak  cũng là một đường chéo.

Xem thêm: Giải Bài Tập Công Nghệ 11 Bài 2 Bài Tập Công Nghệ 11, Giải Bài Tập Công Nghệ 11


Vậy số đường chéo của nhiều giác k + 1 cạnh là

Như vậy, xác minh cũng đúng với nhiều giác k + 1 cạnh. Vậy vấn đề đã được bệnh minh.