Cho (AK) với (BM) là nhì trung tuyến đường của tam giác (ABC). Hãy phân tích những vectơ (overrightarrow AB ,overrightarrow BC ,overrightarrow CA ) theo nhị vectơ sau (overrightarrow u = overrightarrow AK ,overrightarrow v = overrightarrow BM .)
Bạn đang xem: Giải bài tập toán hình lớp 10 bài 2
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.
+) cùng với 3 điểm (A, , , B, , , C) bất kỳ ta luôn luôn có: (overrightarrow AB + overrightarrow BC = overrightarrow AC .)
Xem thêm: Tìm M Để Pt Có 4 Nghiệm Pb, Tìm M Để Phương Trình Có 4 Nghiệm
Gọi (G) là giao điểm của (AK, BM) thì (G) là trung tâm của tam giác.
Áp dụng đặc thù đường trung con đường của tam giác ta có:
(eqalign và overrightarrow AG = 2 over 3overrightarrow AK Rightarrow overrightarrow AG = 2 over 3overrightarrow u cr và overrightarrow GB = - overrightarrow BG = - 2 over 3overrightarrow BM = - 2 over 3overrightarrow v cr )
Theo quy tắc (3) điểm đối với tổng vec tơ:
(overrightarrow AB = overrightarrow AG + overrightarrow GB)( Rightarrow overrightarrow AB = 2 over 3overrightarrow u - 2 over 3overrightarrow v )
(AK) là trung tuyến nên K là trung điểm (BC). Bởi vì đó,
(overrightarrow AB + overrightarrow AC = 2overrightarrow AK )( Rightarrow (2 over 3overrightarrow u - 2 over 3overrightarrow v) + overrightarrow AC = 2overrightarrow u )
(Rightarrow overrightarrow AC = 2overrightarrow u - dfrac23overrightarrow u + dfrac23overrightarrow v )
( Rightarrow overrightarrow AC = 4 over 3overrightarrow u + 2 over 3overrightarrow v )( Rightarrow overrightarrow CA = - 4 over 3overrightarrow u - 2 over 3overrightarrow v )
(BM) là trung tuyến cần (M) là trung điểm (AC). Vị đó,
(eqalign & overrightarrow BA + overrightarrow BC = 2overrightarrow BM cr&Rightarrow - overrightarrow AB + overrightarrow BC = 2overrightarrow v cr & Rightarrow overrightarrow BC = 2overrightarrow v + overrightarrow AB cr &= 2overrightarrow v + (2 over 3overrightarrow u - 2 over 3overrightarrow v) cr&= 2 over 3overrightarrow u + 4 over 3overrightarrow v. cr )
Cách khác:
+ K là trung điểm của BC đề nghị ta có: (overrightarrow AB + overrightarrow AC = 2overrightarrow AK ) giỏi (overrightarrow AB - overrightarrow CA = 2overrightarrow u ,,left( 1 ight))
+ M là trung điểm AC nên ta có: (overrightarrow BA + overrightarrow BC = 2overrightarrow BM ) tốt ( - overrightarrow AB + overrightarrow BC = 2overrightarrow v ,,left( 2 ight))
+ Lại có (overrightarrow AB + overrightarrow BC + overrightarrow CA = overrightarrow 0 ,,left( 3 ight))
Cộng (1) cùng với (3) ta được (2overrightarrow AB + overrightarrow BC = 2overrightarrow u ), kết hợp với (2) ta được hệ phương trình: (left{ eginarrayl2overrightarrow AB + overrightarrow BC = 2overrightarrow u \ - overrightarrow AB + overrightarrow BC = 2overrightarrow v endarray ight.)
Trừ nhị vế của nhị pt cho nhau ta được: (3overrightarrow AB = 2overrightarrow u - 2overrightarrow v Leftrightarrow overrightarrow AB = frac23overrightarrow u - frac23overrightarrow v )
(eginarrayl Rightarrow - left( frac23overrightarrow u - frac23overrightarrow v ight) + overrightarrow BC = 2overrightarrow v \ Leftrightarrow overrightarrow BC = 2overrightarrow v + frac23overrightarrow u - frac23overrightarrow v \ Rightarrow overrightarrow BC = frac23overrightarrow u + frac43overrightarrow v endarray)