Hướng dẫn giải bài bác §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài xích 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 bao gồm tổng hợp công thức, lý thuyết, phương thức giải bài tập đại số và giải tích bao gồm trong SGK sẽ giúp các em học sinh học giỏi môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán lớp 11 trang 132

Bạn vẫn xem: bài bác tập toán 11 trang 132

Lý thuyết

I. giới hạn hữu hạn

Cho khoảng (K) cất điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) cùng (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi còn chỉ khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi còn chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Giới hạn vô cựcSau đấy là hai trong những nhiều loại số lượng giới hạn vô cực khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta gồm (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng chừng (K) chứa điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) còn chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0) thì ta bao gồm (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có số lượng giới hạn (+∞ ) khi còn chỉ khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

III. Những giới hạn quánh biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), cùng với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), trường hợp (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , trường hợp (k) là số chẵn.

IV. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) nếu như (undersetx ightarrow x__0lim = L) cùng (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) nếu (f(x) ≥ 0) với (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) với (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc số lượng giới hạn của tích (f(x).g(x))


*

*

(Dấu của (g(x)) xét trên một khoảng chừng (K) làm sao đó vẫn tính giới hạn, cùng với (x ≠ x_0) ).

Dưới đấy là phần phía dẫn vấn đáp các thắc mắc và bài xích tập trong phần buổi giao lưu của học sinh sgk Đại số với Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời thắc mắc 1 trang 123 sgk Đại số và Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho biến hóa x đa số giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như vào bảng sau:


*

Khi đó, những giá trị khớp ứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một hàng số mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) chứng tỏ rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm giới hạn của hàng số (f(xn)).

2. Chứng tỏ rằng với hàng số bất kỳ xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn luôn có f(xn) → 2.

(Với đặc điểm thể hiện tại trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có giới hạn là 2 lúc x dần dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời thắc mắc 2 trang 127 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong biểu thức (1) khẳng định hàm số $y = f(x)$ ngơi nghỉ Ví dụ 4, phải thay $2$ ngay số nào nhằm hàm số có giới hạn là $-2$ khi $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) trên (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) tốt (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy buộc phải thay (2) bởi ( – 7) để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 127 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ tất cả đồ thị như sống Hình 52


*

Quan liền kề đồ thị và mang đến biết:

– Khi vươn lên là $x$ dần tới dương vô cực, thì f(x) dần dần tới cực hiếm nào.

– Khi vươn lên là $x$ dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới cực hiếm nào.

Trả lời:

– Khi trở thành $x$ dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới quý giá dương vô cực

– Khi phát triển thành $x$ dần dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần dần tới cực hiếm âm vô cực

Dưới đó là phần trả lời giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11. Chúng ta hãy phát âm kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

hijadobravoda.com ra mắt với chúng ta đầy đủ phương thức giải bài bác tập đại số cùng giải tích 11 kèm bài giải chi tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số và Giải tích 11 của bài §2. Giới hạn của hàm số trong Chương IV. Số lượng giới hạn cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài bác tập các bạn xem dưới đây:


*

Giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

1. Giải bài bác 1 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Dùng có mang tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác định trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) và ta có (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kì và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) cùng (x_n→ 4) khi (n o + infty ).

Ta bao gồm (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác định trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất cứ và (x_n→ +∞) lúc (n o + infty )

Ta bao gồm (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài xích 2 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext nếu như xge 0 hfill cr2x ext giả dụ x 0) với (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài bác 3 trang 132 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) cùng với (∀x>0).

4. Giải bài bác 4 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta tất cả (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) với ((x – 2)^2> 0) cùng với (∀x ≠ 2) cùng (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do kia (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta bao gồm (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) cùng (x – 1 0) cùng với (∀x > 1) với (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài 5 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) tất cả đồ thị như bên trên hình 53.


a) Quan sát đồ thị cùng nêu dấn xét về cực hiếm hàm số đã mang đến khi (x → -∞), (x → 3^-) với (x → -3^+)

b) Kiểm tra những nhận xét trên bằng phương pháp tính những giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) với (f(x)) được xét trên khoảng chừng ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan ngay cạnh đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) do (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) và (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) với (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài xích 6 trang 133 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài bác 7 trang 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Một thấu kính quy tụ có tiêu cự là (f). Call (d) với (d’) theo lần lượt là khoảng cách từ một trang bị thật (AB) và từ hình ảnh (A’B’) của chính nó tới quang trung tâm (O) của thấu kính (h.54). Công thức thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)


a) tìm biểu thức xác định hàm số (d’ = φ(d)).

b) tra cứu (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) cùng (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích ý nghĩa sâu sắc của các kết quả tìm được.

Bài giải:

a) từ bỏ hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu đồ gia dụng thật AB tiến dần dần về tiêu điểm F làm thế nào để cho d luôn to hơn f thì hình ảnh của nó dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu đồ gia dụng thật AB tiến dần về tiêu điểm F sao cho d luôn bé dại hơn f thì hình ảnh của nó dần tới âm vô sực.

Xem thêm: Những Bài Toán Thực Tế Ứng Dụng Phương Trình, Bài Toán Thực Tế

Ý nghĩa: Nếu đồ thật AB ngơi nghỉ xa vô rất so với thấu kính thì hình ảnh của nó làm việc ngay bên trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm ảnh F’ và vuông góc cùng với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài giỏi cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11!