Giải Phương Trình Sai Phân

I. Những khái niệm cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên Hàm có tập xác minh thuộc Z call là hàm số tất cả đối số nguyên. Cam kết hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: sai phân của hàm số Un là chênh doanh thu trị của hàm số trên hai giá trị sau đó nhau. Ký kết hiệu: ΔUn = Un +1 - Un sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai...

Bạn đang xem: Giải phương trình sai phân


CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH không nên PHÂNI. Các khái niệm cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm có tập khẳng định thuộc Z gọi là hàm số tất cả đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). F(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số)2. Định nghĩa sai phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số tại hai giá bán trị kế tiếp nhau. Cam kết hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn không đúng phân cấp 2 được xem :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương từ bỏ ta có thể biểu diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình không nên phân Định nghĩa : là PT cùng với hàm số nên tìm là một trong hàm đối số rời rạc f (n) = Un gồm mặtdưới dạng không nên phân những cấp.PT không nên phân cung cấp m bao gồm dạng bao quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rốc Un =f(n) mà khi cầm cố Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng nhất thức bên trên tập hợp các số nguyên n0.Nghiệm bao quát của một PT sai phân cấp n bao gồm dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là các hằng số bất kì, lúc gán cho từng kí trường đoản cú C1, C2,...,Cn một trong những xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT không đúng phân Ôtônôm là PT bao gồm dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không nên phân con đường tính1. Phương trình không đúng phân con đường tính cung cấp 1Định nghĩa: Là phương trình có dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong kia an, bn, fn là các hàm đối số nguyên. Un với Un+1 là hai giá trị kề nhau của hàmUn đối số nguyên yêu cầu tìm.Nếu an cùng bn là những hằng số thì ta có phương trình không đúng phân thông số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) call là phương trình thuần nhất khớp ứng của (1).Ví dụ:Một người sử dụng có số chi phí là A đồng, lấy gửi tiết kiệm, lãi xuất từng tháng là 1%.Lập mô hình về tình hình tiền vốn của khách hàng hàng. 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình không nên phân cấp cho caoa. Phương trình sai phân cấp 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và công nhân là các hằng số thì ta có phương trình không đúng phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta tất cả phương trình thuần duy nhất liên kếtan.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một trong những nghiệm của PT không đúng phân tuyến tính không thuần nhất cùng U1n, U2n là 2nghiệm độc lập tuyến tính của PT thuần nhất links thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một vấn đề như sau: “Hômnay, bạn ta khuyến mãi tôi một cặp thỏ. Biết thỏ hai tháng tuổi bắt đầu đẻ và tiếp đến mỗitháng đẻ một lứa, mỗi lứa là một trong cặp thỏ. Hết năm, tôi gồm bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: hotline Fn là số cặp thỏ đã đạt được ở tháng vật dụng n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 cùng với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương trình không nên phân cấp cho kLà phương trình tất cả dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không đúng phân tuyến tính cấp cho 1 hệ số hằng1. Phương trình sai phân tuyến đường tính thuần độc nhất vô nhị Nghiệm tổng thể : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số hà nội là 1,6 triệu người, tốc độ tăng dân số là 1% một năm. Hỏidân số thủ đô hà nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: điện thoại tư vấn un là dân số thủ đô hà nội năm lắp thêm n + 1990 1Ta bao gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Phương trình không nên phân con đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) cùng với q 0. PT thuần nhất liên kết Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 nghiệm của PT sai phân đường tính ko thuần nhất (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất liên kết (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tìm kiếm nghiệm riêng biệt của (1) : q+) Nếu phường -1 nghiệm riêng biệt là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là = qn.IV. Phƣơng trình sai phân tuyến đường tính cấp 2 thông số hằng1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần tuyệt nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: ví như xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn và yn chủ quyền tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: giả dụ xn, yn là nghiệm riêng chủ quyền tuyến tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng quát của (3).Chứng minh:Gọi Un là 1 trong nghiệm ngẫu nhiên của (3). Ta minh chứng rằng sống thọ Au với Bu sao để cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là những hằng số phụ thuộc vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm tuyệt nhất Au và Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minh bởi quy nạp, ta tất cả Un = Au.xn + Bu.yn đông đảo nghiệm của (3) đều màn biểu diễn qua xn và yn đ.p.c.mTa tìm nghiệm riêng dưới dạng xn = λn (λ 0). Ráng vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương trình (4) hotline là phương trình đặc trưng của (3).Trường hòa hợp 1: nếu (4) tất cả hai nghiệm thực phân biệt λ1 cùng λ2 (3) bao gồm hai nghiệmriêng hòa bình tuyến tính xn = λ1n và yn = λ2n .Nghiệm tổng thể Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường hợp 2: trường hợp (4) bao gồm nghiệm kép là λ0, (3) có hai nghiệm riêng tự do tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hòa hợp 3: nếu (4) gồm hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p. ) với với r = A2 + B2 với α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) gồm hai nghiệm riêng tự do tuyến tính là xn = rn.cosnα với yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn . 4Ví dụ 1: search nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Phương trình sệt trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 với λ2 = 2Vậy nghiệm bao quát un = A + B.2n. U0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 cùng B = -1. NVậy nghiệm riêng vừa ý là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 cùng λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng quát un = A 2n + B.2n. U0 = A + B = 0 Hệ phương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng đề nghị tìm là un = 3 (2-n – 2n)Ví dụ 3: tìm kiếm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương trình sệt trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm tổng quát un = (A + Bn)5nVí dụ 4: kiếm tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm bao quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng phải tìm là un = 1 + nVí dụ 5: kiếm tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. N.Vậy nghiệm tổng quát un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Phương trình đặc trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. N.Vậy nghiệm tổng quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 và B = 0. N.Vậy nghiệm riêng cần tìm là un = 2n.cos 32. Phương trình không đúng phân tuyến tính không thuần duy nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tra cứu nghiệm riêng rẽ U*n của (5) : ? r+) giả dụ p+q -1 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = 1pq+) ví như p+q = -1 rn Khi p. -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p. = -2 thì nghiệm riêng rẽ là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất links ta suy ra nghiệm tổng quát của (5).Trường phù hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét làm việc dạng tổng thể cho PT không đúng phân tuyếntính hệ số hằng cấp k.V. Phƣơng trình không nên phân đường tính cấp k hệ số hằng.1. Phương trình sai phân tuyến đường tính thuần nhất cung cấp k hệ số hằng:Là phương trình gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong đó a0, a1, …, ak là những số thực. 6Ta kiếm tìm nghiệm riêng dưới dạng Un = λn, chũm vào (6) ta gồm phương trình quánh trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường phù hợp 1: trường hợp (7) bao gồm k nghiệm thực sáng tỏ λ1, λ2, … λk ta tất cả k nghiệmriêng chủ quyền tuyến tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm bao quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường phù hợp 2:Nếu (7) có nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 gồm bội s với k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm bao quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường vừa lòng 3: nếu phương trình (7) tất cả nghiệm phức, ví dụ điển hình λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu được nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) cùng k-2 nghiệm thực phân biệt, khiđó tương ứng ta thay thế x1n = rn.cosnα và x2n = rn.sinnα trong nghiệm tổng quát.Nghiệm tổng quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: tra cứu nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương trình quánh trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 cùng λ3 = 5Vậy nghiệm bao quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nVí dụ 2: tìm kiếm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình quánh trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 và λ3 = 3Vậy nghiệm bao quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 với C = -5.Vậy nghiệm riêng hài lòng là un = (5 + 3n).2n – 5.3nVí dụ 3: kiếm tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. N.Vậy nghiệm bao quát un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình không đúng phân con đường tính không thuần nhất cung cấp k thông số hằngLà phương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong đó a0, a1, …, ak là những số thực, fn 0n.Phương trình thuần nhất tương ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng thể của phương trình (8) bằng nghiệm tổng thể của phươngtrình (6) cộng với nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Chứng minh:Giả sử đất nước hình chữ s là nghiệm tổng quát của (6) với xn là nghiệm riêng của (8).Đặt un = đất nước hình chữ s + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = nước ta + xn.Ngược lại hiệu 2 nghiệm riêng ngẫu nhiên của (8) cũng chính là nghiệm riêng của (6). Vậynghiệm tổng quát của (8) bởi nghiệm bao quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng ngẫu nhiên của (8).Cách tra cứu nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường đúng theo 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cấp cho s của phương trình đặc thù ( s rất có thể nhận quý giá 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) và tìm ci bằng phươngpháp thông số bất định. Giả dụ λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 và tìm Ci bằng phương pháp hệ số bất định. Fn = Pm(n).βnTrường hợp 2: trường hợp λ = β là nghiệm cấp cho s của phương trình đặc trưng (s rất có thể nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, thế vào phương trình tra cứu Qm(n) bởi phươngpháp thông số bất định. Nếu như λ = β ko là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng tất cả dạngxn= Qm(n).βn, cầm vào phương trình tìm kiếm Qm(n) bằng phương pháp hệ số bất định. Fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường hòa hợp 3: Ta tìm kiếm nghiệm riêng rẽ dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng rẽ ứng cùng với f1(n) = Rl(n) (đưa về trường phù hợp 1) cùng x2n lànghiệm riêng rẽ ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đưa về trường đúng theo 2). 5Ví dụ 1: search một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Phương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 và λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= an2 + bn+ cThay vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. Xn = -2n2 + 2n - 10Đồng nhất hệ số a = -2, b =2 cùng c = -10Ví dụ 2: tìm một nghiệm riêng của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = một là nghiệm đối kháng ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Thay vào phương trình a = 1, b = c = 0 5Ví dụ 3: tra cứu một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 ta tìm kiếm nghiệm riêng biệt dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Thay vào phương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3.

Xem thêm: Học Phí Đại Học Kinh Tế Tphcm Là Trường Công Hay Tư, Những Cơ Hội Việc Làm Dành Cho Sinh Viên Ueh

2nVí dụ 4: tra cứu một nghiệm riêng biệt của phương trìnhBài làm: Phương trình đặc trưng λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 và λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đơn ta search nghiệm riêng rẽ dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nVí dụ 5: tìm kiếm một nghiệm riêng biệt của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng lấy ví dụ như 1 và ví dụ 3 nghiệm riêng rẽ xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không nên phân 9