Để xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz ta có 2 cách. 1 cách bạn được học trong hình học không gian lớp 11 và 1 cách bạn được học ở hình học không gian tọa độ lớp 12. Tùy theo dữ kiện bài toán cho mà ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết của 2 cách và bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 12

*


A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Định nghĩa


Gọi a’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng (Q), góc φ được tạo bởi giữa hai đường thẳng a và a’ chính là góc của đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Nếu a ⊥ (Q) thì $\widehat {\left( {a,\left( Q \right)} \right)}$ = 900.Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $\widehat {\left( {a,\left( Q \right)} \right)}$ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 11

Để xác định được góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a thì ta làm như sau:

Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)Bước 3: Góc \(\widehat {AOA’} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A’ của điểm A trên (Q) ta chọn một đường thẳng b ⊥ (Q) khi đó AA’ // b.

Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA’


2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Công thức: $sin\varphi = \sin \left( {\widehat {a,(Q)}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow u } \right)} \right| = \frac{{\left| {\vec u.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|}}$

Trong đó:

${\overrightarrow n }$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).${\overrightarrow u }$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu như VTPT của (Q): ${\overrightarrow n }$ = ( A; B; C) và VTCP của a: ${\overrightarrow u }$ = ( a; b; c) thì góc được xác định theo công thức:

\

B. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho đường thẳng a: $\frac{{x + 1}}{{ – 3}} = \frac{{y + 5}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}$ và mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).


Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$ = ( – 3; 1; 2)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$ = ( 1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng (Q) và đường thẳng a:

$sin\varphi = \frac{{\left| {1.\left( { – 3} \right) + \left( { – 2} \right).1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { – 3} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}$

Kết luận: φ ≈ 190.

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz có đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\\ {y = 1 – 2t}\\ {z = – 3 + t} \end{array}} \right.$ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$ = ( – 1; – 2; 1)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$ = ( – 1; 1; – 2)

Áp dụng công thức (*):

$sin\varphi = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).\left( { – 1} \right) + 1.\left( { – 2} \right) + \left( { – 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$

Kết luận: φ = 300.

Xem thêm: Bùa Yêu Là Gì ? Dấu Hiệu Bị Bỏ Bùa Yêu Làm Bùa Yêu Có Khó Không

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz có 1 đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 – mt\\ y = 1 – 2t\\ z = – 3 + t \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$ = ( – m; – 2; 1)mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$ = ( – 1; 1; – 2)$\widehat {a,(Q)} = {30^0}$ $ \Rightarrow \sin \left( {\widehat {a,(Q)}} \right)$$ = \sin \left( {{{30}^0}} \right) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức (*):

$\frac{1}{2} = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).\left( { – m} \right) + 1.\left( { – 2} \right) + \left( { – 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – m} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }}$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {m – 4} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 5} }} \Rightarrow \left< \begin{array}{l} m = 1\\ m = – 17 \end{array} \right.$