Phương pháp nhân tử Lagrange (method of Lagrange multipliers) là một kỹ thuật rất kì có lợi để giải các bài toán tối ưu gồm ràng buộc. Vào chuỗi nội dung bài viết này buổi tối sẽ chia làm 2 phần: (1) buộc ràng là đẳng thức; (2) ràng buộc là bất đẳng thức. Nội dung bài viết đầu tiên này tôi sẽ triệu tập vào về tối ưu có ràng buộc là đẳng thức.

Bạn đang xem: Hàm lagrange

Mục lục1. Kỹ thuật Lagrange2. đối chiếu Lý thuyết1. Kỹ thuật Lagrange

1.1. Phát biểu bài xích toán

Tìm rất trị của hàm số đa thay đổi $color#0c7f99f(mathbfx)$ thoả mãn đk hàm đa đổi mới $color#bc2612g(mathbfx)=c$ với $c$ là hằng số:$$eginaligned extmaximize (or minimize)&color#0c7f99f(mathbfx)cr extsubject to:~&color#bc2612g(mathbfx) = cendaligned$$

1.2. Ứng dụng chuyên môn nhân tử Lagrange

Để xử lý bài toàn này, ta thực hiện kỹ thuật Lagrange như sau:

Bước 1: Thêm một thay đổi nhân tử Lagrange $color#0d923flambda$ và tư tưởng một hàm Lagrangian $mathcalL$ như sau:$$mathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(mathbfx)- extcolor#0d923flambdaig( extcolor#bc2612g(mathbfx)-cig)$$Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) của $mathcalL$ bởi véc-to $mathbf0$:$$ ablamathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)=mathbf0$$Bước 3: dựa vào các nghiệm $(mathbfx^* , extcolor#0d923flambda^* )$ kiếm được ở trên, cầm cố vào hàm $color#0c7f99f(mathbfx)$ rồi chọn giá trị lớn số 1 (nhỏ nhất) là ta được giá trị phải tìm (thực ra chỉ cần nghiệm $mathbfx^* $ là đủ):$$egincases extcolorbluef_min &= displaystylemin_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )cr extcolorredf_max &= displaystylemax_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )endcases$$

Nếu bạn lưu ý một chút thì phương trình ở cách 2 tương đương với hệ phương trình sau:$$egincases abla extcolor#0c7f99f(mathbfx) &= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(mathbfx)crcolor#bc2612g(mathbfx) &= color#bc2612cendcases$$

Bởi:$$ ablamathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)=eginbmatrixdfracpartialmathcalLpartialmathbfxcrcrdfracpartialmathcalLpartialmathbf extcolor#0d923flambdaendbmatrix=eginbmatrix abla extcolor#0c7f99f(mathbfx)- extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(mathbfx)crcolor#bc2612g(mathbfx)-cendbmatrix$$

Tức là sinh sống đây, khi giải bởi tay chúng ta cũng có thể làm ngơ hàm $mathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)$ mà vẫn giải tốt. Mặc dù nhiên, việc màn trình diễn qua hàm Lagrangian này để giúp đỡ ta tiện lợi sài luôn được các cách giải phổng thông không giống và những chương trình máy tính xách tay có sẵn.

1.3. Ví dụ minh họa

Bài toán:Giả sử bên máy của người sử dụng sản suất lắp thêm phụ tùng bằng thép. Giá thành nhân công từng giờ là $$20$ với giá 1 tấn thép là $$170$. Lợi tức đầu tư $R$ được mô hình hoá như sau:

$$R(h,s)=200h^2/3s^1/3$$Trong đó:

$h$ là số giờ làm việc$s$ là số tấn thép

Hãy tính lợi nhuận to nhất hoàn toàn có thể thu được nếu kinh phí của bạn là $$20,000$.

Lời giải:Mỗi giờ làm việc tốn $$20$ và mỗi tấn thép tốn $$170$ phải tổng chi phí tính theo $h$ và $s$ là:$$B(h,s)=20h+170s$$Do kinh phí đầu tư $B$ là $$20,000$ buộc phải ta tất cả ràng buộc:$$color#bc261220h+170s=20,000$$

Để tất cả cái nhìn rõ ràng hơn về bài xích toán, ta thử màn biểu diễn nó qua đồ vật thị như sau:


Đồ thị lợi nhuận và ràng buộc. Source: khanacademyĐồ thị lợi nhuận với ràng buộc. Source: khanacademy

Nhìn vào vật thị bên trên ta có thể thấy lợi tức đầu tư (đường màu xanh) đạt lớn nhất với điều kiện ngân quỹ (đường color đỏ) tại điểm giao bên trái của 2 đường.

Cái chú ý trực quan lại là thế, còn tiếng ta sẽ giải bằng phương thức nhân tử Lagrange để tối ưu hoá hàm $color#0c7f99R(h,s)$ ràng buộc bởi đẳng thức $color#bc2612B(h,s)=20,000$. Theo so với ở bên trên ta đã có:$$egincases abla extcolor#0c7f99R(h,s) &= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612B(h,s)crcolor#bc2612B(h,s) &= color#bc261220,000endcases$$

Phân tích ra ta được:$$egincasescolor#0c7f99200cdotdfrac23h^-1/3s^1/3 &= 20 extcolor#0d923flambdacrcrcolor#0c7f99200cdotdfrac13h^2/3s^-2/3 &= 170 extcolor#0d923flambdacrcrcolor#bc261220h+170s &= color#bc261220,000endcases$$

Giải ra ta có kết quả:$$egincases extcolor#0c7f99h &= dfrac2,0003 approx 667crcr extcolor#0c7f99s &= dfrac2,00051 approx 39crcrcolor#0d923flambda &= sqrt<3>dfrac8,000459 approx 2.593endcases$$

Thế vào cách làm tính roi ta có:$$R(667, 39)=200(667)^2/3(39)^1/3 approx fcolorboxredaqua51,777$$

Như vậy, để đã có được lợi nhuận lớn nhất ta bắt buộc 667 giờ lao hễ với 39 tấn thép và lợi nhận có thể đạt được buổi tối đa là $$51,777$.

2. Phân tích Lý thuyết

2.1. Cái nhìn hình học

Chiếu thiết bị hình của $color#0c7f99f(mathbfx)$ cùng $color#bc2612g(mathbfx)=c$ qua dạng đường đồng nấc (Contour Line). Đầu tiên ta rất có thể thấy rằng quý giá cực trị của hàm $color#0c7f99f(mathbfx)$ bị ràng buộc vày $color#bc2612g(mathbfx)=c$ đó là điểm xúc tiếp của mặt đường đồng nấc của chúng.

Đường đồng nút của $f(x,y)$ là tập của toàn bộ các điểm $(x^* ,y^* )$ để $f(x^* ,y^* )=k$ cùng với $k$ là hằng số.

Ví dụ, với $color#0c7f99f(mathbfx)=2x+y$, $color#bc2612g(mathbfx)=x^2+y^2$ và $color#bc2612c=1$, ta sẽ có quy mô đồ thị như sau.


Đồ thị của f(x,y) với g(x,y). Source: khanacademyĐồ thị của f(x,y) và g(x,y). Source: khanacademy
Đường đồng nấc của f(x,y) cùng g(x,y). Source: khanacademyĐường đồng nấc của f(x,y) cùng g(x,y). Source: khanacademy

Nhìn vào biểu đồ vật trên ta hoàn toàn có thể thấy 2 điểm cực trị là vấn đề tiếp xúc của 2 đường đồng nút của 2 hàm kim chỉ nam và ràng buộc. Tuy nhiên, không phải lúc làm sao $color#0c7f99f(mathbfx)$ cũng trực tiếp tưng cố gắng nhé, do nó còn dựa vào vào dạng của hàm đó là gì. Ví dụ $color#0c7f99f(mathbfx)=2x^2+sqrt5y$ thì con đường đồng mức vẫn là:
Đường đồng nấc của f(x,y) và g(x,y). Source: khanacademyĐường đồng nấc của f(x,y) và g(x,y). Source: khanacademy

Nhưng dù ráng nào đi nữa, nếu $k$ là điểm cực trị của hàm $color#0c7f99f$ thì đường đồng mức $color#0c7f99f(x,y)=k$ sẽ luôn luôn tiếp xúc với mặt đường đồng mức của $color#bc2612g(mathbfx)=c$ trên điểm đó.

Mặt khác, gradient lại luôn vuông góc với con đường đồng mức trên điểm tương ứng.
Gradient vuông góc với con đường đồng mức. Source: khanacademyGradient vuông góc với mặt đường đồng mức. Source: khanacademy

Như vậy, ví như 2 mặt đường đồng mức tiếp xúc nhau thì gradient tương ứng của chúng tại điểm tiếp xúc là song song với nhau.

Nói giải pháp khác, trả sử điểm tiếp xúc đó là $(x_0,y_0)$ thì ta có thể biểu diễn dục tình gradient của chúng như sau:$$ abla extcolor#0c7f99f(x_0,y_0)= extcolor#0d923flambda_0 abla extcolor#bc2612g(x_0,y_0)$$

Trong đó $ extcolor#0d923flambda$ là một hằng số nào đó. Qua phép màn trình diễn này ta có thể quy được thành một hệ phương trình 3 ẩn 3 phương trình cùng hoàn toàn có thể giải được rất dễ dàng:$$egincasescolor#bc2612g(x,y) = ccr abla extcolor#0c7f99f(x,y)= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(x,y)endcases$$

Nghiệm của hệ phương trình trên $(x_0,y_0, extcolor#0d923flambda_0)$ khi sửa chữa thay thế lại hàm $color#0c7f99f(x,y)$ sẽ mang lại ta được kết quả mong muốn.

Xem thêm: Phim Cuộc Chiến Sắc Đẹp 2 Tập 17, Cuộc Chiến Sắc Đẹp 2

2.2. Gom lại thành 1 hàm

Từ hệ phương trình trên, Lagrange tụ lại thành một phương trình Lagrangian duy nhất:$$mathcalL(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(x,y)- extcolor#0d923flambdaig( extcolor#bc2612g(x,y)-cig)$$

Để ý rằng, đạo hàm riêng biệt theo $ extcolor#0d923flambda$ thiết yếu bằng đk ràng buộc:$$mathcalL_ extcolor#0d923flambda(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#bc2612g(x,y)-c$$Đạo hàm theo $x,y$ là:$$egincasesmathcalL_x(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0d923flambda extcolor#bc2612g_x(x,y)crmathcalL_y(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0d923flambda extcolor#bc2612g_y(x,y)endcases$$Gom lại ta đang có:$$ abla extcolor#0c7f99f(x,y)= extcolor#0d923flambda abla extcolor#bc2612g(x,y)$$

Như vậy, bài toán của ta sẽ được biến hóa thành dạng tối ưu hàm $mathcalL$ không tồn tại điều khiếu nại ràng buộc. Việc này tương đương với giải phương trình gradient của nó bằng véc-to $mathbf0$:$$ ablamathcalL=mathbf0$$

2.3. Mở rộng

Từ phép màn trình diễn như trên ta hoàn toàn có thể tổng quát mang đến trường hợp có không ít đẳng thức ràng buộc, khi đó hàm $mathcalL$ được khái niệm như sau:$$mathcalL(x,y, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(x,y)-sum_i=1^n extcolor#0d923flambda_iig( extcolor#bc2612g_i(x,y)-c_iig)$$

Trong đó, $color#bc2612g_i(x,y)=c_i$ là các đẳng thức ràng buộc, còn $color#0d923flambda_i$ là những hằng số thành phần tương ứng với mỗi đẳng thức. Việc tối ưu hàm $color#0c7f99f(x,y)$ cũng biến thành được giải con gián tiếp qua gradient của $mathcalL$:$$ ablamathcalL=mathbf0$$

3. Kết luận

Kỹ thuật Lagrange được lấy cảm hứng từ câu hỏi tiếp xúc của những đường đồng mức cùng gradient của chúng. Để về tối ưu 1 hàm với ràng buộc là các đẳng thức, ta hoàn toàn có thể thực hiện theo chuyên môn Lagrange như sau:

Bước 1: thêm 1 véc-to nhân tử Lagrange $color#0d923flambda$ và tư tưởng một hàm Lagrangian $mathcalL$ như sau:$$mathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)= extcolor#0c7f99f(mathbfx)- extcolor#0d923flambda^intercalig( extcolor#bc2612g(mathbfx)-cig)$$Bước 2: Giải đạo hàm (gradient) của $mathcalL$ bởi véc-to $mathbf0$:$$ ablamathcalL(mathbfx, extcolor#0d923flambda)=mathbf0$$Bước 3: nhờ vào các nghiệm $(mathbfx^* , extcolor#0d923flambda^* )$ tìm kiếm được ở trên, cầm cố vào hàm $color#0c7f99f(mathbfx)$ rồi lựa chọn giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là ta giá tốt trị buộc phải tìm (thực ra chỉ việc nghiệm $mathbfx^* $ là đủ):$$egincases extcolorbluef_min &= displaystylemin_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )cr extcolorredf_max &= displaystylemax_mathbfx^* color#0c7f99f(mathbfx^* )endcases$$

Lưu ý rằng do có rất nhiều đẳng thức ràng buộc đề nghị $color#bc2612g(mathbfx)-c$ là 1 trong véc-tơ bao gồm bậc là số đẳng thức và các nhân tử Lagrange tương xứng cũng là một trong những véc-to $color#0d923flambda$ tất cả bậc tương đương.