Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng đặc biệt của Giải tích Toán 12 và thường xuất hiện thêm nhiều trong những kì thi đại học. Vậy bao hàm công thức nguyên hàm quan trọng nào yêu cầu nhớ? Team hijadobravoda.com Education để giúp các em câu trả lời và tìm làm rõ hơn về bảng cách làm nguyên hàm từ bỏ cơ bạn dạng đến nâng cao và phương pháp giải bài bác tập nguyên hàm phổ cập qua nội dung bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của


học livestream trực đường Toán - Lý - Hóa - Văn - Anh - Sinh nâng tầm điểm số 2022 – 2023 tại hijadobravoda.com Education

Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào khám phá công thức về nguyên hàm, các em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm tương tự như các tính chất và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K, bây giờ hàm số F(x) được điện thoại tư vấn là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu F’(x) = f(x) (với phần đông x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: mang sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) bên trên K. Lúc đó, với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong những nguyên hàm của f(x).Định lý 2: bên trên K, nếu F(x) là 1 trong những nguyên hàm của hàm số f(x) thì gần như nguyên hàm của f(x) bên trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 hằng số tùy ý.Định lý 3: trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều sở hữu nguyên hàm.

Tính hóa học nguyên hàm

3 đặc điểm cơ phiên bản của nguyên hàm được diễn đạt như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số bao gồm nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) bao gồm đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, không ngừng mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều phải sở hữu những phương pháp riêng. Những công thức này đã có được tổng vừa lòng thành các bảng dưới đây để những em dễ dàng phân loại, ghi nhớ và vận dụng chính xác.


*

*

*

*

2 phương pháp giải bài xích tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi trở thành số

Đây là cách thức được thực hiện rất nhiều khi giải nguyên hàm. Bởi vì vậy, những em cần phải nắm vững phương thức này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh và chính xác hơn.

Phương pháp đổi trở thành loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tiếp trên K, y = f(u) liên tiếp để f xác minh trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) với tính vi phân nhị vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, đổi khác biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi vươn lên là loại 2: Khi đề bài xích cho hàm số f(x) tiếp tục trên K và x = φ(t) là 1 trong những hàm số xác định, liên tiếp trên K và tất cả đạo hàm là φ"(t). Cơ hội này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) cùng lấy vi phân nhị vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện trở nên đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) với v(x) tất cả đạo hàm liên tục trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì những em sẽ có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy nằm trong vào từng dạng toán ví dụ mà những em áp dụng phương pháp sao mang đến phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường xuyên gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về công thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số cho trước f(x) trên một khoảng.

b. Cách thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra lấy một ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác minh D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) bên trên D lúc Y = F(x) vừa lòng điều kiện F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Phần Mềm Giải Bài Tập Tiếng Anh Bằng Camera Chính Xác Nhất Năm 2022

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được tư tưởng như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) gồm đạo hàm tiếp tục trên D, khi đó ta gồm công thức: