Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần cho các nguyên hàm có dạng

*
trong đó (
*
*
là hai trong 4 loại hàm:đa thức, lượng giác, mũ, loga.

Bạn đang xem: Nguyên hàm uv

Thứ tự ưu tiên chọn u:Logarit⟶đa thức⟶Lượng giác = mũ.

Các bước tính nguyên hàm từng phần:

- Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng

*
.

- Bước 2: Đặt

*
(chọn
*
là một nguyên hàm của
*
).

- Bước 3: Khi đó

*
.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1 (Chuyên Vinh 2017 Lần 3)Cho hàm số

*
thỏa mãn
*
*
với
*
là các hằng số. Khi đó:

A.

*
. B.
*
. C.
*
. D.
*
.

Lời giải:

*
.

Đặt

*
*
.

Chọn

*
ta có
*

Đặt

*

*
.

Do đó

*
. Chọn C.

Ví dụ 2:Tìm các nguyên hàm sau:

a)

*
. b)
*
.c)
*
.

Lời giải:

a)

*

Đặt

*
*
.

Nhận xét:Ngoài cách đặt

*
như trên ta có thể làm trực tiếp như sau:

*
*
.

b)

*

Đặt

*
*
.

Xem thêm: Tiểu Sử Diễn Viên Quách Ngọc Ngoan, Quách Ngọc Ngoan

Đặt

*

*

Nhận xét:Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm là tích của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có thể đặt

*
tùy ý. Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp ta phải nhất quán việc đặt
*
.