Toán Học Là Gì

Trong toán học và logic, một định lý là 1 mệnh đề phi hiển nhiên đã được minh chứng là đúng, hoặc trên cơ sở dẫn xuất từ các tiên đề hoặc được minh chứng trên các đại lý lấy từ từ các định lý khác.

Bạn đang xem: Toán học là gì

<2><3><4> bởi đó, một định lý là hệ trái logic của các tiên đề, với một chứng minh của định lý là 1 trong những đối số logic thiết lập chân lý của nó thông qua các nguyên tắc suy luận của một khối hệ thống suy diễn. Tác dụng là, việc chứng minh một định lý thường xuyên được hiểu là sự biện minh cho chân lý của tuyên bố định lý. Trong toàn cảnh yêu cầu các định lý phải được chứng minh, tư tưởng của một định lý về cơ bạn dạng là suy luận, trái ngược với quan niệm của một định luật pháp khoa học là thực nghiệm.<5><6>

Định lý Pitago có tối thiểu 370 cách chứng tỏ đã biết <1>

Nhiều định lý toán học là các tuyên tía có điều kiện, có minh chứng suy ra kết luận từ điều kiện được điện thoại tư vấn là giả thuyết. Dưới góc độ của việc giải thích bằng chứng là sự biện minh của chân lý, kết luận thường được xem như như một hệ quả cần thiết của những giả thuyết. Nỗ lực thể, tóm lại đó là đúng trong trường hợp các giả thuyết là đúng - mà không yêu cầu thêm bất kỳ giả thiết nào. Mặc dù nhiên, đk cũng rất có thể được phân tích và lý giải khác nhau vào một số khối hệ thống suy diễn độc nhất vô nhị định, tùy trực thuộc vào ý nghĩa sâu sắc được gán cho các quy tắc dẫn xuất và ký kết hiệu đk (ví dụ, súc tích không cổ điển).

Mặc dù các định lý rất có thể được viết dưới dạng ký hiệu hoàn toàn (ví dụ như mệnh đề trong các học), chúng thường được mô tả không thỏa thuận bằng ngôn ngữ tự nhiên và thoải mái để đọc dễ dàng hơn. Điều này cũng như với các chứng minh, thường được mô tả dưới dạng những lập luận dân dã được tổ chức triển khai một cách xúc tích và rõ ràng, nhằm thuyết phục người đọc về thực sự của độ đúng mực của định lý không còn nghi ngờ gì nữa, cùng từ kia về nguyên tắc có thể xây dựng một minh chứng tượng trưng chủ yếu thức.

Ngoài việc dễ phát âm hơn, các đối số không chủ yếu thức thường rất dễ kiểm tra hơn những đối số thuần túy tượng trưng thực tiễn nhiều công ty toán học sẽ thanh minh sự ưa thích so với một phép minh chứng không chỉ chứng minh tính hợp lệ của một định lý nhưng mà còn phân tích và lý giải theo một bí quyết nào đó nguyên nhân nó rõ ràng đúng. Trong một số trong những trường hợp, fan ta thậm chí là có thể chứng minh một định lý bằng phương pháp sử dụng một mẫu vẽ minh họa phép chứng minh của nó.

Bởi vì những định lý là chủ chốt của toán học, chúng cũng là trung trọng điểm của tính thẩm mỹ và làm đẹp của nó. Các định lý hay được miêu tả là "tầm thường", "khó", hoặc "sâu", hoặc thậm chí còn "đẹp". Những đánh giá và nhận định chủ quan này không chỉ khác nhau ở từng người, mà hơn nữa theo thời gian và nền văn hóa: ví dụ, khi 1 phép chứng minh mới được tìm kiếm ra, đơn giản dễ dàng hóa hoặc nắm rõ hơn, một định lý từng được coi là khó hoàn toàn có thể trở bắt buộc tầm thường.<7> phương diện khác, một định lý được xem như là sâu hoàn toàn có thể được phát biểu một cách 1-1 giản, tuy vậy cách chứng minh của nó rất có thể liên quan đến những mối liên hệ đáng quá bất ngờ và sắc sảo giữa các lĩnh vực toán học khác nhau. Định lý sau cuối của Fermat là 1 trong những ví dụ quan trọng nổi giờ đồng hồ về một định lý như vậy.<8>

Mục lục

Kết cấuSửa đổi

Về khía cạnh logic, nhiều định lý tất cả dạng một điều kiện chỉ định: giả dụ A, thì B. Một định lý do đó không khẳng định B - chỉ nói rằng B là hệ quả cần thiết của A. Trong trường hợp này, A được điện thoại tư vấn là giả thuyết của định lý ("giả thuyết" sống đây tức là một cái nào đấy rất khác với một bỏng đoán), cùng B là kết luận của định lý. Cả nhì phần này để cạnh nhau (không buộc phải chứng minh) được điện thoại tư vấn là mệnh đề hoặc tuyên bố của định lý (ví dụ "Nếu A, thì B" là mệnh đề). Quanh đó ra, A cùng B cũng rất có thể được call là chi phí đề với hậu quả.<9> Định lý "Nếu n là số tự nhiên chẵn thì n/2 là số trường đoản cú nhiên" là 1 ví dụ điển hình trong những số đó giả thuyết là "n là số tự nhiên và thoải mái chẵn", và kết luận là "n/2 cũng là số trường đoản cú nhiên".

Để một định lý được bệnh minh, về hiệ tượng nó phải bao gồm thể diễn đạt được như một phát biểu đúng mực về mặt hình thức. Mặc dù nhiên, các định lý thường được diễn đạt bằng ngôn ngữ tự nhiên chứ chưa phải ở dạng ký hiệu trọn vẹn - với giả định rằng một tuyên bố bề ngoài của định lý rất có thể được rút ra xuất phát điểm từ một tuyên cha phi hình thức.

Trong toán học, người ta thường lựa chọn một số trả thuyết trong một ngôn ngữ nhất định và tuyên cha rằng lý thuyết bao hàm tất cả các phát biểu bao gồm thể chứng tỏ được từ các giả thuyết này. đầy đủ giả thuyết này sinh sản thành cơ sở căn cơ của triết lý và được điện thoại tư vấn là tiên đề hay định đề. Lĩnh vực toán học được gọi là lý thuyết chứng tỏ nghiên cứu các ngôn ngữ hình thức, định đề và cấu tạo của phép hội chứng minh.

Một phiên bản đồ phẳng gồm năm color sao cho không tồn tại hai vùng bao gồm cùng màu chạm chán nhau. Nó thực sự rất có thể được tô màu theo cách này chỉ với tứ màu. Định lý tư màu nói rằng vấn đề tô màu như vậy hoàn toàn có thể sử dụng được mang lại bất kỳ phiên bản đồ phẳng nào, tuy nhiên mọi chứng tỏ đã biết đều tương quan đến một tìm kiếm kiếm đo lường và tính toán quá thọ để có thể kiểm tra bởi tay.

Một số định lý là "tầm thường", theo nghĩa là bọn chúng tuân theo các định nghĩa, định đề và các định lý không giống theo các phương pháp hiển nhiên cùng không cất đựng ngẫu nhiên hiểu biết đáng không thể tinh được nào.<10> khía cạnh khác, một số định lý hoàn toàn có thể được điện thoại tư vấn là "sâu", cũng chính vì các chứng minh của chúng hoàn toàn có thể dài cùng khó, liên quan đến các nghành nghề dịch vụ toán học khác không tương quan với tuyên bố của bao gồm định lý, hoặc cho thấy thêm các mối liên hệ đáng ngạc nhiên giữa các lĩnh vực toán học khác nhau.<11> Một định lý rất có thể được tuyên bố rất dễ dàng nhưng vô cùng sâu sắc. Một ví dụ tuyệt đối cho vấn đề này là Định lý sau cuối của Fermat,<12> và có không ít ví dụ không giống về các định lý dễ dàng nhưng thâm thúy trong lý thuyết số cùng tổ hợp, với các lĩnh vực khác.

Các định lý khác có chứng minh đã biết mà lại không thể dễ dãi viết ra. Các ví dụ khá nổi bật nhất cho vấn đề này là định lý tư màu và giả thuyết Kepler. Cả hai định lý này chỉ được biết thêm là đúng bằng cách rút gọn bọn chúng thành một tìm kiếm kiếm thống kê giám sát sau này được một chương trình máy tính xách tay xác minh. Ban đầu, nhiều nhà toán học tập không chấp nhận hình thức chứng minh này, nhưng hiện giờ nó vẫn được gật đầu rộng rãi hơn. đơn vị toán học tập Doron Zeilberger thậm chí còn đã đi xa đến cả tuyên tía rằng đây hoàn toàn có thể là những tác dụng tầm thường độc nhất mà các nhà toán học đã từng có lần chứng minh.<13> các định lý toán học hoàn toàn có thể được rút gọn thành tính toán đơn giản dễ dàng hơn, bao hàm các thừa nhận dạng đa thức, nhận dạng lượng giác <14> và các nhận dạng vô cùng hình học.<15>

Phân loạiSửa đổi

Định lý toán học có thể phân loại theo rất nhiều tiêu chí khác nhau: theo nghành (số học, đại số, hình học...), theo quan hệ với những định lý khác (định lý thuận, đảo, phản, phản nghịch đảo)

Các định lý toán học tập nổi tiếngSửa đổi

Tham khảoSửa đổi

from the addition formulas of sine and cosine.